10.2 Equations de conservation en compressible
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En d´ erivant en temps et en utilisant la conservation de la masse :
ρ
ds
dt
=
1
T
de
dt
+
p
T ρ
∇ · V
en remplac ¸ant de par sa valeur on a :
ρ
ds
dt
=
1
T
(−∇ · ϕ + Φ + q)
On peut exprimer la variation d’entropie pour un ´
ecoulement r´ eversible par la
relation ds r = dQ/T . On obtiendrait une forme locale sur s r :
ρ
ds r
dt
=
q
T
− ∇ ·
� ϕ
T
�
=
q
T
−
1
T
∇ · ϕ +
ϕ
T 2 ∇T
La variation d’entropie s’´ ecrit alors en fonction s r :
ρ
ds
dt
= ρ
ds r
dt
+
1
T
�
Φ −
ϕ
T 2 ∇T
�
Comme ϕ = −k ∇T (Fourier) le dernier terme est toujours positif et la variation
d’entropie dans un ´
ecoulement est toujours sup´ erieure `
a la variation d’entropie d’un
´
ecoulement r´ eversible.
En thermodynamique classique les transformations sont suppos´ ees r´ eversibles et
l’entropie s r est uniquement utilis´ ee dans ce contexte.
10.2.10 Formulation adimensionnelle des ´
equations
Le syst` eme d’´ equations repr´ esentatif des ´
ecoulements compressibles s’´ ecrit :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂ ρ
∂t
+ ∇ · (ρ V) = 0
∂ (ρ V)
∂t
+ ∇ · (ρ V ⊗ V) = −∇P + f + ∇ ·
� μ
�
∇V + ∇
t
V
�� + ∇ (λ ∇ · V)
ρ c p
� ∂ T
∂t
+ V · ∇T
�
= ∇ · (k∇T ) + β T
d p
dt
+ 2μD i j
∂V i
∂ x j
−
2
3
μ (∇ · V)
2
o` u P(ρ, T ) est ici la pression thermodynamique.
Le syst` eme d’´ equations correspondant aux ´
ecoulements compressibles ci-dessous
est adapt´ e aux nombres de Mach ´
elev´ es ou mod´ er´ es s’´ ecrit sous forme adimensionnelle (voir chapitre 3.4.3) :