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10 Les ´
ecoulements compressibles
10.2.9.2 Energie Interne et Enthalpie
L’´ equation de l’´ energie interne s’exprime en retranchant l’´ equation de l’´ energie
cin´ etique de celle de l’´ energie totale
ρ
d e
d t
= −∇ · ϕ − p ∇ · V + Φ + q
La variation d’enthalpie s’exprime quant `
a elle par h = e + P/ρ soit :
dh = de −
d p
ρ
−
p
ρ 2 dρ
En utilisant la d´ eriv´ ee particulaire on arrive `
a
ρ
d h
d t
= −∇ · ϕ −
d p
dt
+ Φ + q
Ces expressions de l’´ energie interne ou de l’enthalpie traduise les relations thermodynamiques et thermique et n’int` egrent pas la dynamique qui doit ˆ
etre repr´ esente
par l’´ equation du mouvement.
10.2.9.3 Enthalpie totale
L’enthalpie totale h i d´ efinie par h i = h +V 2 /2 repr´ esente l’enthalpie d’arrˆ et calcul´ ee
en un point de l’´ ecoulement o` u la vitesse est nulle.
L’´ equation de l’enthalpie totale s’obtient par la somme de l’´ equation de l’´ energie
cin´ etique et de l’enthalpie :
ρ
d h i
d t
= −∇ϕ +
∂ p
∂t
+ Φ + q + f · V + ∇ · (τ · V)
Cette relation est celle utilis´ ee le plus fr´ equemment lorsque le nombre de Mach
devient important et o` u la temp´ erature intervient surtout pour des m´ ecanismes de
compression ou d´ etente plutˆ ot que par les conditions aux limites.
10.2.9.4 Entropie
La variation d’entropie d’un fluide est par d´ efinition li´ ee aux autres grandeurs de la
thermodynamique
T ds = de + pdv
ou
T ds = de −
p
ρ 2 dρ