10.2 Equations de conservation en compressible
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Les termes sont associ´ es `
a des ph´ enom` enes physiques suivants :
• ∇ · (σ · V) est le travail total fourni par les forces de contraintes,
• −p∇ · V est le travail fourni par les forces de pression au cours de la d´ eformation,
dilatation ou
• −∇p · V est le travail fourni par les forces de pression au cours du d´ eplacement,
• V · ∇ · σ est le travail des forces de contraintes fournies lors du d´ eplacement des
particules fluides,
• −∇ · (p V) est le travail total des forces de pression,
• ∇ · (τ · V) est le travail total des forces visqueuses, compression,
• V · ∇ · τ est le travail fourni par les forces visqueuses au cours du d´ eplacement,
• Φ = τ : ∇V est le travail fourni par les forces visqueuses au cours de la
d´ eformation.
La fonction Φ, regroupant les termes contenant la viscosit´ e est dite fonction de
dissipation. Elle est reli´ ee `
a la d´ egradation de l’´ energie cin´ etique en chaleur, du fait
des frottements visqueux au sein du fluide.
Φ = −
2
3
μ (∇ · V)
2 + 2μD i j
∂V i
∂ x j
10.2.9 Autres formes de l’Equation de l’Energie
10.2.9.1 Equation de l’Energie Cin´ etique
En multipliant l’´ equation de Cauchy scalairement par la vitesse V, on obtient une
forme locale qui porte sur l’´ energie cin´ etique uniquement :
V ·
ρ
d V
d t
− ∇ · σ − f
= 0
soit
ρ
1
2
d V 2
d t
= −V · ∇p + V · ∇ · τ − V · f
Cette ´
equation de conservation de l’´ energie cin´ etique traduit que le travail des forces
d’inertie est ´
egal `
a la somme des travaux des forces de volume et des forces de
contact li´ e au d´ eplacement des particules.
Cette relation en perdant son caract` ere vectoriel initial dˆ u `
a Navier-Stokes conduit aussi `
a une perte d’information.