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10 Les ´
ecoulements compressibles
o` u h i = e+
p
ρ +
1
2 V 2
r est l’enthalpie totale ou enthalpie g´ en´ eratrice par unit´ e de masse
On conclut ainsi qu’avec ces hypoth` eses l’enthalpie totale est continue `
a la travers´ ee d’une onde de choc.
10.2.7 Equation aux discontinuit´ es associ´ ee au bilan d’entropie
Lorsque la grandeur intensive est l’entropie s, le flux est associ´ e s’´ ecrit ϕ d = ϕ/T
et l’´ equation aux discontinuit´ es devient une in´ egalit´ e :
ρ sV r +
ϕ
T
· N
≥ 0 sur Σ
Comme q m = ρV · N est une grandeur continue `
a la travers´ ee de l’onde de choc, on
a:
q m [[s ]] ≥ −
ϕ
T
· N
sur Σ
Pour une ´
evolution adiabatique ϕ = 0 et on en d´ eduit, si la normale est orient´ ee de
sorte que q m soit positive :
[[s]] ≥ 0
L’entropie massique ne peut d´ ecroˆ ıtre `
a la travers´ ee d’une onde de choc pour une
´
evolution adiabatique.
10.2.8 Forme locale de l’´ equation de l’Energie
Le principe de conservation de l’´ energie dans Ω peut s’´ ecrire sous forme diff´ erentielle
:
ρ
d
dt
e +
1
2
V
2
= −∇ · ϕ + ∇ · (σ · V) + q + f · V
Le terme ∇ · (σ · V) qui exprime le travail ´
el´ ementaire des forces de contraintes par
unit´ e de temps peut se d´ ecomposer :
∇ · (σ · V) = −V · ∇ · σ + tr (σ · ∇V)
qui devient :
∇ · (σ · V) = −p ∇ · V − ∇p · V + V · ∇ · τ + τ : ∇V