10.2 Equations de conservation en compressible
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La m´ ecanique des fluides est en fait ´
etroitement associ´ ee `
a la thermique. En
effet les variations de pression dans un fluide, les frottements visqueux engendrent
in´ eluctablement des variations de l’´ energie interne et conduisent `
a une variation
locale de la temp´ erature du fluide donc modifient son mouvement.
Le premier principe de la thermodynamique montre que la d´ eriv´ ee temporelle
dK/dt de l’´ energie totale est ´
egale `
a la somme de la puissance des forces ext´ erieures
et de la puissance calorifique rec ¸ue (par la surface Σ ou produite par unit´ e de temps
et de volume).
dE
dt
= P e + P c
soit
d
dt
���
Ω
ρ
�
e + V
2 /2
�
dv =
���
Ω
f · V dv +
��
Σ
(σ · n) · V ds +
���
Ω
q dv −
��
Σ
ϕ · n ds
+
��
Σ
���
e + V
2 /2
�
(V − W) + ϕ − σ · V
��
· N ds
q(x,t) est la production volumique d’´ energie calorifique due par exemple au rayonnement absorb´ e `
a l’int´ erieur de Ω , `
a l’effet Joule, avec d´ esint´ egrations atomiques,
ϕ est la densit´ e de flux de chaleur rec ¸ue `
a travers Σ par convection, par conduction
ou rayonnement arrˆ et´ e en surface dans le cas de corps opaques ; f est une force
volumique.
Les ´
equations locales et de saut pour la conservation de l’´ energie s’´ ecrivent :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
ρ
d
dt
� e + V
2 /2
� = −∇ · ϕ + ∇ · (σ · V) + q + f · V = 0 dans D
�� ρ
�
e + V
2 /2
� (V − W) + ϕ − σ · V
��
· N = 0 sur Σ
En reprenant les ´
equations de saut pour la conservation de la masse et l’´ equation de
quantit´ e de mouvement il vient :
ρ V
�
[[e]] +
1
2
��
V
2
r
��
�
= − [[ϕ · N]] + [[σ · N · V r ]] sur Σ
Dans le cas d’une onde de choc pour une ´
evolution adiabatique et dans l’hypoth` ese
σ = −p I (fluide parfait) on a :
��
e +
p
ρ
+
1
2
V
2
r
��
= 0 sur Σ
soit
[[h i ]] = 0 sur Σ