220
10 Les ´
ecoulements compressibles
[[σ ]] · N = 0 sur Σ
ou
[[T]] = 0 sur Σ
Cette relation traduit la continuit´ e des contraintes `
a travers Σ
Dans le cas o` u la tension superficielle intervient cette condition s’´ ecrit alors :
[[T]] = γ κ n sur Σ
o` u κ est la courbure de l’interface au point P.
La condition g´ en´ erale s’´ ecrit alors :
σ
(2)
ik − σ
(1)
ik
n k = γ
1
R 1
+
1
R 2
n i −
∂ γ
∂ x i
soit
τ
(1)
ik − τ
(2)
ik
n k =
p
(1) − p
(2)
n i − γ
1
R 1
+
1
R 2
n i +
∂ γ
∂ x i
σ est la tension superficielle du couple de fluide; R 1 et R 2 sont les deux rayons
de courbure principaux de l’interface et τ est le d´ eviateur des contraintes. Le dernier
terme de cette relation correspond aux variations spatiales de la tension superficielle
sur l’interface dues aux variations de temp´ erature, c’est l’effet Marangoni.
En pr´ esence de surfaces discontinuit´ es dans un milieu continu, le syst` eme est
´
equivalent `
a un syst` eme d’´ equations sans discontinuit´ e associ´ e `
a des conditions de
saut aux interfaces.
La prise en compte de ces conditions de saut d´ epend de la m´ ethode choisie pour
les d´ ecrire. Le mod` ele `
a un fluide consiste `
a r´ esoudre le syst` eme d’´ equations sans
conditions aux limites mais `
a prendre en compte les variations spatiales des propri´ et´ es physiques; la continuit´ e des vitesses normales et tangentielles ´
etant assur´ ee
implicitement dans la discr´ etisation. Seul le terme de tension de surface justifie d’un
traitement qui le conduit `
a une forme volumique exploitable dans l’´ equation du
mouvement.
D’autres approches consistent `
a traiter s´ epar´ ement les domaines continus D 1 et
D 2 et `
a ´
ecrire explicitement les conditions `
a l’interface.
10.2.6 Conservation de l’Energie
La quantit´ e intensive A est ici l’´ energie totale sp´ ecifique ρ(e + V 2 /2) o` u e
est l’´ energie interne massique et V 2 /2 est l’´ energie cin´ etique par unit´ e de masse ;
la quantit´ e extensive K est alors l’´ energie totale du syst` eme . Seuls les ´
echanges
d’´ energie d’origines m´ ecaniques et calorifiques sont pris en compte.
10 Les ´
ecoulements compressibles
[[σ ]] · N = 0 sur Σ
ou
[[T]] = 0 sur Σ
Cette relation traduit la continuit´ e des contraintes `
a travers Σ
Dans le cas o` u la tension superficielle intervient cette condition s’´ ecrit alors :
[[T]] = γ κ n sur Σ
o` u κ est la courbure de l’interface au point P.
La condition g´ en´ erale s’´ ecrit alors :
σ
(2)
ik − σ
(1)
ik
n k = γ
1
R 1
+
1
R 2
n i −
∂ γ
∂ x i
soit
τ
(1)
ik − τ
(2)
ik
n k =
p
(1) − p
(2)
n i − γ
1
R 1
+
1
R 2
n i +
∂ γ
∂ x i
σ est la tension superficielle du couple de fluide; R 1 et R 2 sont les deux rayons
de courbure principaux de l’interface et τ est le d´ eviateur des contraintes. Le dernier
terme de cette relation correspond aux variations spatiales de la tension superficielle
sur l’interface dues aux variations de temp´ erature, c’est l’effet Marangoni.
En pr´ esence de surfaces discontinuit´ es dans un milieu continu, le syst` eme est
´
equivalent `
a un syst` eme d’´ equations sans discontinuit´ e associ´ e `
a des conditions de
saut aux interfaces.
La prise en compte de ces conditions de saut d´ epend de la m´ ethode choisie pour
les d´ ecrire. Le mod` ele `
a un fluide consiste `
a r´ esoudre le syst` eme d’´ equations sans
conditions aux limites mais `
a prendre en compte les variations spatiales des propri´ et´ es physiques; la continuit´ e des vitesses normales et tangentielles ´
etant assur´ ee
implicitement dans la discr´ etisation. Seul le terme de tension de surface justifie d’un
traitement qui le conduit `
a une forme volumique exploitable dans l’´ equation du
mouvement.
D’autres approches consistent `
a traiter s´ epar´ ement les domaines continus D 1 et
D 2 et `
a ´
ecrire explicitement les conditions `
a l’interface.
10.2.6 Conservation de l’Energie
La quantit´ e intensive A est ici l’´ energie totale sp´ ecifique ρ(e + V 2 /2) o` u e
est l’´ energie interne massique et V 2 /2 est l’´ energie cin´ etique par unit´ e de masse ;
la quantit´ e extensive K est alors l’´ energie totale du syst` eme . Seuls les ´
echanges
d’´ energie d’origines m´ ecaniques et calorifiques sont pris en compte.