10.2 Equations de conservation en compressible
219
[[ρV r ]] = 0
le d´ ebit massique ρ V r = q m est continu `
a travers une surface de discontinuit´ e Σ . Il
est n´ ecessaire de consid´ erer deux cas :
Surface de contact :
Lorsque le flux de mati` ere est nul `
a travers la surface de discontinuit´ e, Σ est
appel´ ee surface de contact et l’´ equation de saut se r´ eduit `
a
[[V]] · N = 0 sur Σ
Cette condition exprime la continuit´ e de la vitesse normale `
a l’interface, les composantes tangentielles sont quant `
a elles quelconques se qui se traduit par un glissement `
a l’interface. Dans le cas de certains fluides, par exemples des polym` eres, il
peut y avoir glissement mais il doit alors ˆ
etre mod´ elis´ e. Pour les fluides visqueux
classiques dans des conditions standards, la vitesse sera continue et les relations de
continuit´ e porteront sur toutes les composantes de celle-ci.
Onde de choc :
Si q m est diff´ erent de z´ ero, le milieu traverse effectivement la surface de discontinuit´ e et l’on dit que Σ est une onde de choc. Par exemple un choc positionn´ e
dans le divergent d’une tuy` ere de Laval est travers´ e par tout le d´ ebit de la tuy` ere;
l’´ ecoulement est supersonique en amont et subsonique en aval. Ici c’est le d´ ebit
massique q m = ρ V qui est constant lors de la travers´ ee de l’onde de choc.
En fait une onde de choc peut aussi se traiter comme un milieu ´
epais, une zone
o` u les variables subissent des variations importantes mais finies.
10.2.5 Conservation de la quantit´ e de mouvement
L’utilisation de la d´ eriv´ ee particulaire pour l’´ equation de conservation de la quantit´ e
de mouvement donne de mani` ere similaire :
� � �
D
� ∂ (ρ V)
∂t
+ ∇ · (ρ V ⊗ V)
�
dv =
� � �
D
(∇ · σ + f) dv −
� �
Σ
[[ρ V ⊗ (V − W) − σ ]] · Nds
o` u f est une force volumique.
D’o` u les ´
equations locales et de saut pour la conservation de la quantit´ e de mouvement :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
∂ (ρV)
∂t
+ ∇ · (ρ V ⊗ V) = ∇ · σ + f dans D
[[ρ V ⊗ (V − W) − σ ]] · N = 0 sur Σ
Dans le cas o` u la continuit´ e des composantes de vitesse `
a l’interface est assur´ ee
on obtient :
219
[[ρV r ]] = 0
le d´ ebit massique ρ V r = q m est continu `
a travers une surface de discontinuit´ e Σ . Il
est n´ ecessaire de consid´ erer deux cas :
Surface de contact :
Lorsque le flux de mati` ere est nul `
a travers la surface de discontinuit´ e, Σ est
appel´ ee surface de contact et l’´ equation de saut se r´ eduit `
a
[[V]] · N = 0 sur Σ
Cette condition exprime la continuit´ e de la vitesse normale `
a l’interface, les composantes tangentielles sont quant `
a elles quelconques se qui se traduit par un glissement `
a l’interface. Dans le cas de certains fluides, par exemples des polym` eres, il
peut y avoir glissement mais il doit alors ˆ
etre mod´ elis´ e. Pour les fluides visqueux
classiques dans des conditions standards, la vitesse sera continue et les relations de
continuit´ e porteront sur toutes les composantes de celle-ci.
Onde de choc :
Si q m est diff´ erent de z´ ero, le milieu traverse effectivement la surface de discontinuit´ e et l’on dit que Σ est une onde de choc. Par exemple un choc positionn´ e
dans le divergent d’une tuy` ere de Laval est travers´ e par tout le d´ ebit de la tuy` ere;
l’´ ecoulement est supersonique en amont et subsonique en aval. Ici c’est le d´ ebit
massique q m = ρ V qui est constant lors de la travers´ ee de l’onde de choc.
En fait une onde de choc peut aussi se traiter comme un milieu ´
epais, une zone
o` u les variables subissent des variations importantes mais finies.
10.2.5 Conservation de la quantit´ e de mouvement
L’utilisation de la d´ eriv´ ee particulaire pour l’´ equation de conservation de la quantit´ e
de mouvement donne de mani` ere similaire :
� � �
D
� ∂ (ρ V)
∂t
+ ∇ · (ρ V ⊗ V)
�
dv =
� � �
D
(∇ · σ + f) dv −
� �
Σ
[[ρ V ⊗ (V − W) − σ ]] · Nds
o` u f est une force volumique.
D’o` u les ´
equations locales et de saut pour la conservation de la quantit´ e de mouvement :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
∂ (ρV)
∂t
+ ∇ · (ρ V ⊗ V) = ∇ · σ + f dans D
[[ρ V ⊗ (V − W) − σ ]] · N = 0 sur Σ
Dans le cas o` u la continuit´ e des composantes de vitesse `
a l’interface est assur´ ee
on obtient :