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10 Les ´
ecoulements compressibles
[[G(P)]] est appel´ e le saut de la grandeur G `
a la travers´ ee de l’interface Σ `
a l’instant
t.
On appelle champ de c´ el´ erit´ es de la surface de Σ , par rapport au milieu mat´ eriel
le champ scalaire D = −V r · N avec V r = V − W.
On pose W N = W · N; on peut montrer que, si f (x,t) = 0 est l’´ equation de Σ , on
a :
W N = −
1
�∇ f �
� ∂ f
∂t
�
Σ
10.2.3 D´ eriv´ ee particulaire d’une int´ egrale de volume
En supposant que V et b sont continˆ ument d´ erivables dans D 1 et D 2 , la d´ eriv´ ee
particulaire d’une int´ egrale de volume travers´ ee par une surface de discontinuit´ e
s’´ ecrit :
d
dt
� � �
D
b dv =
� � �
D
� ∂ b
∂t
+ ∇ · (b V)
�
dv +
� �
Σ
[[bV rN ]] ds
o` u b est une variable scalaire exprim´ ee en coordonn´ ees eul´ eriennes. L’´ enonc´ e
s’´ etend aux grandeurs vectorielles ou tensorielles.
10.2.4 Conservation de la masse
La d´ eriv´ ee particulaire d’une int´ egrale de volume appliqu´ ee `
a la conservation de la
masse conduit `
a :
d
dt
� � �
D
ρ dv =
� � �
D
� ∂ ρ
∂t
+ ∇ · (ρ V)
�
dv +
� �
Σ
[[ρ (V − W)]] · N ds
o` u
[[ρ (V − W)]] · N = (ρ D 1 (V D 1 − W)) · N − (ρ D 2 (V D 2 − W)) · N
La loi de conservation de la masse se traduit localement par les ´
equations suivantes
:
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
∂ ρ
∂t
+ ∇ · (ρ V) = 0 dans D
[[ρ (V − W)]] · N = 0 sur Σ
si V r = (V − W), la loi de discontinuit´ e associ´ ee `
a la conservation de la masse
s’´ ecrit: