10.2 Equations de conservation en compressible
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La quantit´ e `
a int´ egrer ´
etant une fonction continue, elle est aussi valable au point P.
D’o` u le th´ eor` eme des actions mutuelles de surface : la grandeur T est une grandeur
impaire de n :
T (x,t, n) = −T (x,t, −n)
L’´ equation aux d´ eriv´ ees partielles associ´ ee `
a la loi de conservation s’´ ecrit ainsi
pour des fonctions A, σ , q continˆ ument d´ erivables :
∂ A i
∂t
+ (A j V j + σ i j ) , j = q i
c’est une ´
equation de conservation locale.
10.2.2 Equations aux discontinuit´ es
Soit un domaine mat´ eriel D de fronti` ere S travers´ e par une surface de discontinuit´ e
Σ anim´ ee d’une vitesse propre caract´ eris´ ee par le champ W. V repr´ esente la vitesse
instantan´ ee en un point du volume, D 1 et D 2 les deux sous-domaines constituant D
(Fig. 10.1). Les propri´ et´ es des fluides, diff´ erentes de chaque cˆ ot´ e de l’interface, sont
fonctions de l’espace et du temps.
Fig. 10.1 Volume de contrˆ ole D = S 1 ∪ S 2 de surface S = S 1 ∪ S 2 travers´ e par une surface de
discontinuit´ e Σ ; N est la normale ext´ erieure au domaine (1) et W est le champ des c´ el´ erit´ es (vitesse
propre de l’interface)
On note pour une grandeur scalaire G :
[[G(P)]] = G 2 (P) − G 1 (P)
avec
G i (P) = lim M∈D i →P G(M), i = 1, 2
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La quantit´ e `
a int´ egrer ´
etant une fonction continue, elle est aussi valable au point P.
D’o` u le th´ eor` eme des actions mutuelles de surface : la grandeur T est une grandeur
impaire de n :
T (x,t, n) = −T (x,t, −n)
L’´ equation aux d´ eriv´ ees partielles associ´ ee `
a la loi de conservation s’´ ecrit ainsi
pour des fonctions A, σ , q continˆ ument d´ erivables :
∂ A i
∂t
+ (A j V j + σ i j ) , j = q i
c’est une ´
equation de conservation locale.
10.2.2 Equations aux discontinuit´ es
Soit un domaine mat´ eriel D de fronti` ere S travers´ e par une surface de discontinuit´ e
Σ anim´ ee d’une vitesse propre caract´ eris´ ee par le champ W. V repr´ esente la vitesse
instantan´ ee en un point du volume, D 1 et D 2 les deux sous-domaines constituant D
(Fig. 10.1). Les propri´ et´ es des fluides, diff´ erentes de chaque cˆ ot´ e de l’interface, sont
fonctions de l’espace et du temps.
Fig. 10.1 Volume de contrˆ ole D = S 1 ∪ S 2 de surface S = S 1 ∪ S 2 travers´ e par une surface de
discontinuit´ e Σ ; N est la normale ext´ erieure au domaine (1) et W est le champ des c´ el´ erit´ es (vitesse
propre de l’interface)
On note pour une grandeur scalaire G :
[[G(P)]] = G 2 (P) − G 1 (P)
avec
G i (P) = lim M∈D i →P G(M), i = 1, 2