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10 Les ´
ecoulements compressibles
Cette propri´ et´ e n’est li´ ee `
a aucun mod` ele et ne prˆ ete `
a aucune interpr´ etation pseudophysique, son utilisation doit donc ˆ
etre privil´ egi´ ee.
S’il s’agit de d´ efinir un ´
ecoulement compressible cela devient plus probl´ ematique,
on entre dans une r´ eflexion o` u la part de la mod´ elisation devient importante. Les
hypoth` eses ´
enonc´ ees sont souvent des approximations qui sous-entendent que la solution recherch´ ee ne sera obtenue qu’avec des erreurs que l’on pourra juger comme
admissible ou non.
Le chapitre 10 sur la multiphysique permettra de revenir sur ces notions importantes.
10.2 Equations de conservation en compressible
10.2.1 Expression d’un bilan
Reprenons les ´
equations des ´
ecoulements multifluides et adaptons-les pour les
´
ecoulements compressibles discontinus. Un loi de conservation est un bilan qui
s’applique `
a tout domaine D connexe que l’on suit dans son mouvement; cette loi
peut s’´ ecrire :
d
dt
� � �
D
A dv +
� �
Σ
T ds =
� � �
D
q dv
o` u A est une densit´ e volumique (masse, quantit´ e de mouvement, ´
energie, ...), T est
le flux surfacique de la quantit´ e A et q est le taux de production volumique de la
quantit´ e A.
Consid´ erons maintenant un domaine travers´ e par une surface Σ s´ eparant le domaine D en deux parties D 1 et D 2 . Appliquons l’expression du bilan `
a chacune des
deux parties et pour l’ensemble :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
d
dt
� � �
D 1
A dv +
� �
S 1
T(n) ds +
� �
Σ
T(N) ds =
� � �
D 1
q dv
d
dt
� � �
D 2
A dv +
� �
S 2
T(n) ds +
� �
Σ
T(−N) ds =
� � �
D 2
q dv
d
dt
� � �
D
A dv +
� �
S
T(n) ds =
� � �
D
q dv
En ajoutant membre `
a membre les deux premi` eres ´
egalit´ es et en retranchant la
troisi` eme on a :
� �
Σ
(T(N) + T(−N)) ds = 0