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2 Equations de conservation
car pour suivre la grandeur dans son mouvement il suffit de laisser x 0
1 , x 0
2 , x 0
3 constants et faire varier t.
γ i =
∂V i
∂t
, V i =
∂ x i
∂t
2.2.5.2 En variables d’Euler
Les grandeurs sont d´ efinies en un point g´ eom´ etrique M. Pour suivre la grandeur
dans son mouvement il faut attacher le point g´ eom´ etrique M `
a un ´
el´ ement mat´ eriel
et le suivre dans son mouvement
• a - Fonction scalaire de point
G(M,t)
pt g´ eometrique
→
G{M(t),t}
pt materiel coincidant avec le pt g´ eometrique
G(x 1 , x 2 , x 3 ,t) → G(x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t),t)
dG
dt
=
∂ G
∂ x i
∂ x i
∂t
+
∂ G
∂t
=
∂ G
∂t
+V i
∂ G
∂ x i
Soit
dG
dt
=
∂ G
∂t
+ V · ∇G
Exemple
γ i =
dV i
dt
=
∂V i
∂t
+ V j
∂V i
∂ x j
• b - Fonction vectorielle de point En ´
ecrivant :
A(M,t) = A i e i
dA
dt
=
dA i
dt
e i =
∂ A i
∂t
+ V j
∂ A i
∂ x j
e i
• c - Int´ egrale de volume
Consid´ erons un ensemble de particules de mati` ere contenu dans un domaine Ω
limit´ e par une surface Σ (Fig. 2.4).
Soit K(t) une int´ egrale de volume d’une fonction scalaire
K(t) =
Ω
A(M,t) dv