2.2 Cin´ ematique des fluides
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Fig. 2.4 Milieu continu de volume Ω limit´ e par la surface Σ munie d’une normale ext´ erieure n
La d´ eriv´ ee particulaire d’une int´ egrale de volume est:
dK
dt
=
d
dt
Ω
A(M,t) dv
dans la mesure o` u le domaine d’int´ egration n’est pas constant quand on le suit
dans son mouvement, on ne peut d´ eriver sous le signe somme. On effectue alors
un double changement de variables Euler-Lagrange-Euler
K =
Ω
A(x 1 , x 2 , x 3 ,t) dx 1 dx 2 dx 3
en op´ erant un changement de variables Ω → Ω 0 (fixe) :
K =
Ω 0
A(x
0
1 , x
0
2 , x
0
3 ,t) J dx
0
1 dx
0
2 dx
0
3
avec
J =
D (x 1 , x 2 , x 3 )
D
x 0
1 , x 0
2 , x 0
3
On peut alors d´ eriver sous le signe somme ( constant)
dK
dt
=
Ω 0
dAJ
dt
dv 0 =
Ω 0
J
dA
dt
+ A
dJ
dt
dv 0
On passe aux variables d’Euler par un nouveau changement de variables :
dK
dt
=
Ω
J
dA
dt
+ A
dJ
dt
J
� dv
avec