2.2 Cin´ ematique des fluides
9
Exemple : On peut observer les lignes de courant en tracant les tangentes aux
segments clairs laiss´ es sur une photo de phares de v´ ehicules dans la nuit en exposition courte.
• c - surface de courant
Surface tangente au vecteur vitesse.
• d - tube de courant
Ensemble de lignes de courant s’appuyant sur un contour ferm´ e.
• e - ligne d’´ emission
Toutes les particules qui passent successivement par un point S sont situ´ ees `
a
l’instant t sur une courbe dite ligne d’´ emission relative `
a S.
Exemple : ligne trac´ ee dans le ciel `
a un instant donn´ e par un panache de fum´ ee.
• f - ´
ecoulement stationnaire
Un ´
ecoulement est stationnaire par rapport `
a un r´ ef´ erentiel lorsque la vitesse et
les autres variables ne d´ ependent plus du temps. Il y a alors identit´ e entre trajectoire, ligne d’´ emission et ligne de courant, les syst` emes r´ ef´ erentiels devenant
identiques.
Les qualificatifs de stationnaire, permanent, ´
etabli, stable ... sont pr´ ecis et correspondent `
a des situations diff´ erentes; la stationnarit´ e est attach´ ee `
a une ind´ ependance des variables dans le temps. La permanence est la persistance d’un ´
etat qui
peut ˆ
etre instationnaire alors qu’un ´
ecoulement ´
etabli traduit son ind´ ependance par
rapport `
a une direction spatiale. On parle de stabilit´ e ou d’instabilit´ e uniquement
par rapport `
a un ´
etat de r´ ef´ erence qui lui-mˆ eme peut ˆ
etre stationnaire, oscillant,
p´ eriodique, etc.
2.2.5 Expressions des d´ eriv´ ees particulaires
Il s’agit de connaˆ ıtre l’´ evolution de toute grandeur physique li´ ee `
a un ´
el´ ement
mat´ eriel que l’on suit dans son mouvement. Pour calculer par exemple une acc´ el´ eration
il s’agit de suivre l’´ evolution de la vitesse de l’´ el´ ement mat´ eriel consid´ er´ e quand il
se d´ eplace. On appelle d´ eriv´ ee particulaire d’une grandeur physique, la d´ eriv´ ee par
rapport au temps de cette grandeur quand on suit le point mat´ eriel dans son mouvement. On dit encore que la d´ eriv´ ee particulaire d’une grandeur physique est la
d´ eriv´ ee temporelle ou mat´ erielle ou totale.
2.2.5.1 En variables de Lagrange
La d´ eriv´ ee particulaire s’identifie `
a la d´ eriv´ ee partielle par rapport au temps
dG
dt
=
∂ G
∂t
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Exemple : On peut observer les lignes de courant en tracant les tangentes aux
segments clairs laiss´ es sur une photo de phares de v´ ehicules dans la nuit en exposition courte.
• c - surface de courant
Surface tangente au vecteur vitesse.
• d - tube de courant
Ensemble de lignes de courant s’appuyant sur un contour ferm´ e.
• e - ligne d’´ emission
Toutes les particules qui passent successivement par un point S sont situ´ ees `
a
l’instant t sur une courbe dite ligne d’´ emission relative `
a S.
Exemple : ligne trac´ ee dans le ciel `
a un instant donn´ e par un panache de fum´ ee.
• f - ´
ecoulement stationnaire
Un ´
ecoulement est stationnaire par rapport `
a un r´ ef´ erentiel lorsque la vitesse et
les autres variables ne d´ ependent plus du temps. Il y a alors identit´ e entre trajectoire, ligne d’´ emission et ligne de courant, les syst` emes r´ ef´ erentiels devenant
identiques.
Les qualificatifs de stationnaire, permanent, ´
etabli, stable ... sont pr´ ecis et correspondent `
a des situations diff´ erentes; la stationnarit´ e est attach´ ee `
a une ind´ ependance des variables dans le temps. La permanence est la persistance d’un ´
etat qui
peut ˆ
etre instationnaire alors qu’un ´
ecoulement ´
etabli traduit son ind´ ependance par
rapport `
a une direction spatiale. On parle de stabilit´ e ou d’instabilit´ e uniquement
par rapport `
a un ´
etat de r´ ef´ erence qui lui-mˆ eme peut ˆ
etre stationnaire, oscillant,
p´ eriodique, etc.
2.2.5 Expressions des d´ eriv´ ees particulaires
Il s’agit de connaˆ ıtre l’´ evolution de toute grandeur physique li´ ee `
a un ´
el´ ement
mat´ eriel que l’on suit dans son mouvement. Pour calculer par exemple une acc´ el´ eration
il s’agit de suivre l’´ evolution de la vitesse de l’´ el´ ement mat´ eriel consid´ er´ e quand il
se d´ eplace. On appelle d´ eriv´ ee particulaire d’une grandeur physique, la d´ eriv´ ee par
rapport au temps de cette grandeur quand on suit le point mat´ eriel dans son mouvement. On dit encore que la d´ eriv´ ee particulaire d’une grandeur physique est la
d´ eriv´ ee temporelle ou mat´ erielle ou totale.
2.2.5.1 En variables de Lagrange
La d´ eriv´ ee particulaire s’identifie `
a la d´ eriv´ ee partielle par rapport au temps
dG
dt
=
∂ G
∂t