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2 Equations de conservation
On ne s’int´ eresse donc pas ici `
a l’histoire du continu consid´ er´ e mais `
a son champ
de vitesse `
a l’instant t.
G = G(x 1 , x 2 , x 3 ,t) = G(x 1 (x
0
1 , x
0
2 , x
0
3 ,t), x 2 (x
0
1 , x
0
2 , x
0
3 ,t), x 3 (x
0
1 , x
0
2 , x
0
3 ,t),t)
= G(x
0
1 , x
0
2 , x
0
3 ,t)
2.2.4 D´ efinitions
• a - trajectoire Les ´
equations param´ etriques des trajectoires sont donn´ ees par la
r´ esolution du syst` eme diff´ erentiel :
V i =
dx i
dt
→ dx i = V i · dt
dx 1
V 1 (x 1 , x 2 , x 3 ,t)
=
dx 2
V 2 (x 1 , x 2 , x 3 ,t)
=
dx 3
V 3 (x 1 , x 2 , x 3 ,t)
L’int´ egration donne les relations
x i = x i (x
0
1 , x
0
2 , x
0
3 ,t)
o` u x 0
1 , x 0
2 , x 0
3 sont des constantes.
Exemple : photo de phares de v´ ehicules dans la nuit en exposition longue.
• b - ligne de courant
A un instant donn´ e on d´ efinit les lignes de courant (Fig. 2.3) comme les lignes
tangentes en chacun de leur point au vecteur vitesse en ce point. On d´ etermine
Fig. 2.3 Lignes de courant tangente en chaque point M au vecteur vitesse V
les lignes de courant en ´
ecrivant V//dM,t fixe. On a V · n = 0 o` u n est la normale
`
a la ligne de courant.
dx 1
V 1 (x 1 , x 2 , x 3 ,t)
=
dx 2
V 2 (x 1 , x 2 , x 3 ,t)
=
dx 3
V 3 (x 1 , x 2 , x 3 ,t)
avec t = Cte