210
9 Turbulence
ν sm = C m Δ
1+α
S i j S i j
α
2 (q
2
sm )
1−α
2
avec :
• C m une constante ´
evalu´ ee `
a partir des valeurs des constantes des mod` eles de
Smagorinsky et TKE, telle que : C m = (C s ) 2α (C T KE ) 1−α
• un param` etre α que l’on fait varier de 0 `
a 1. En g´ en´ eral, α = 0, 5. Si α = 0, on
retombe sur le mod` ele TKE, et si α = 1, on a le mod` ele de Smagorinsky.
9.4.3.4 La fonction de s´ election
Une mani` ere d’am´ eliorer les mod` eles de base pr´ esent´ es est d’employer une fonction
de s´ election qui est en fait un senseur structurel. Celle-ci est bas´ ee sur les fluctuations angulaires du vecteur vorticit´ e ω. Le rˆ ole de cette fonction de s´ election est
de v´ erifier si l’´ ecoulement est un ´
ecoulement turbulent pleinement d´ evelopp´ e. La
valeur seuil de la fluctuation angulaire θ a ´
et´ e ´
evalu´ ee `
a 20 ◦ . Il ne reste plus qu’` a
former un produit entre cette fonction de s´ election et la viscosit´ e de sous-maille. Il
en r´ esulte une fonction s´ elective du mod` ele de base consid´ er´ e :
ν
slc
sm = ν sm f s (θ )
f s (θ ) faisant office d’”interrupteur”.
9.5 Les ´
ecoulements dans les conduits
9.5.1 Profils de vitesse
Le profil de vitesse dans un conduit cylindrique `
a section circulaire en r´ egime
turbulent est tr` es diff´ erent de celui calcul´ e analytiquement en r´ egime laminaire
u(r) = 2 V 0
1 − r 2 /R 2 , o` u V 0 est la vitesse de d´ ebit (Fig. 9.6). Notamment au
niveau des parois les contraintes tangentielles sont beaucoup plus importantes.
9.5.2 Perte de charge, Coefficient de perte de charge
Si Φ est le taux de dissipation visqueuse Φ = 2 μ S i j S i j avec S i j =
1
2
∂V i
∂ x j
+
∂V i
∂ x j
,
la perte de charge dans le conduit est ´
egale `
a :
9 Turbulence
ν sm = C m Δ
1+α
S i j S i j
α
2 (q
2
sm )
1−α
2
avec :
• C m une constante ´
evalu´ ee `
a partir des valeurs des constantes des mod` eles de
Smagorinsky et TKE, telle que : C m = (C s ) 2α (C T KE ) 1−α
• un param` etre α que l’on fait varier de 0 `
a 1. En g´ en´ eral, α = 0, 5. Si α = 0, on
retombe sur le mod` ele TKE, et si α = 1, on a le mod` ele de Smagorinsky.
9.4.3.4 La fonction de s´ election
Une mani` ere d’am´ eliorer les mod` eles de base pr´ esent´ es est d’employer une fonction
de s´ election qui est en fait un senseur structurel. Celle-ci est bas´ ee sur les fluctuations angulaires du vecteur vorticit´ e ω. Le rˆ ole de cette fonction de s´ election est
de v´ erifier si l’´ ecoulement est un ´
ecoulement turbulent pleinement d´ evelopp´ e. La
valeur seuil de la fluctuation angulaire θ a ´
et´ e ´
evalu´ ee `
a 20 ◦ . Il ne reste plus qu’` a
former un produit entre cette fonction de s´ election et la viscosit´ e de sous-maille. Il
en r´ esulte une fonction s´ elective du mod` ele de base consid´ er´ e :
ν
slc
sm = ν sm f s (θ )
f s (θ ) faisant office d’”interrupteur”.
9.5 Les ´
ecoulements dans les conduits
9.5.1 Profils de vitesse
Le profil de vitesse dans un conduit cylindrique `
a section circulaire en r´ egime
turbulent est tr` es diff´ erent de celui calcul´ e analytiquement en r´ egime laminaire
u(r) = 2 V 0
1 − r 2 /R 2 , o` u V 0 est la vitesse de d´ ebit (Fig. 9.6). Notamment au
niveau des parois les contraintes tangentielles sont beaucoup plus importantes.
9.5.2 Perte de charge, Coefficient de perte de charge
Si Φ est le taux de dissipation visqueuse Φ = 2 μ S i j S i j avec S i j =
1
2
∂V i
∂ x j
+
∂V i
∂ x j
,
la perte de charge dans le conduit est ´
egale `
a :