9.4 La Simulation des Grandes Echelles
209
o` u Δ x, Δ y et Δ z sont les tailles des mailles dans les directions x, y et z. Elle
repr´ esente en fait la longueur de coupure caract´ eristique du filtre.
9.4.3.1 Le mod` ele de Smagorinsky
La viscosit´ e de sous-maille est ´
evalu´ ee par :
ν sm =
C s Δ
2
S i j S i j
1
2
o` u C s est la constante du mod` ele de Smagorinsky, prise ´
egale `
a 0,18 dans le cadre de
la turbulence homog` ene isotrope. Elle est ramen´ ee `
a 0,1 dans le cas d’un ´
ecoulement
en canal plan. Le probl` eme majeur de ce mod` ele est qu’il va agir sur l’´ ecoulement
d` es que le champ de vitesse r´ esolu poss` ede des variations spatiales. Ce mod` ele est
incapable de d´ ecrire la transition d’un ´
etat laminaire vers un ´
etat turbulent. Pire
encore, l’´ ecoulement turbulent peut se relaminariser sous l’effet du mod` ele.
9.4.3.2 Le mod` ele TKE (Turbulent Kinetic Energy)
On cherche `
a exprimer la viscosit´ e ν sm en fonction de la longueur de coupure Δ ,
de l’´ energie cin´ etique des ´
echelles de sous-maille q 2
sm . L’´ energie cin´ etique de sousmaille est suppos´ ee ˆ
etre ´
egale `
a l’´ energie cin´ etique `
a la coupure q 2
c :
q
2
sm ≡ q
2
c =
1
2
(u i
�
)(u i
�
)
o` u la vitesse `
a la coupure (u i
� ) peut ˆ
etre ´
evalu´ ee grˆ ace `
a un double filtrage des
´
echelles r´ esolues, (˜ .) ´
etant un filtre test :
(u i
�
) = u i − ˜
u i
Donc :
ν sm = C T KE Δ (q
2
sm )
1
2
La constante C T KE est g´ en´ eralement prise ´
egale `
a 0,2. Ce mod` ele s’annule par construction dans les zones o` u la vitesse est ´
evalu´ ee correctement `
a partir des ´
equations
discr` etes. Cependant, les ´
echanges d’´ energie inter-´ echelles sont le plus souvent
sous-´ evalu´ es.
9.4.3.3 Le mod` ele d’´ echelles mixtes
Le mod` ele d’´ echelles mixtes est bas´ e sur l’´ energie cin´ etique des plus petites ´
echelles
r´ esolues de l’´ ecoulement. La viscosit´ e de sous-maille est ´
evalu´ ee par :
209
o` u Δ x, Δ y et Δ z sont les tailles des mailles dans les directions x, y et z. Elle
repr´ esente en fait la longueur de coupure caract´ eristique du filtre.
9.4.3.1 Le mod` ele de Smagorinsky
La viscosit´ e de sous-maille est ´
evalu´ ee par :
ν sm =
C s Δ
2
S i j S i j
1
2
o` u C s est la constante du mod` ele de Smagorinsky, prise ´
egale `
a 0,18 dans le cadre de
la turbulence homog` ene isotrope. Elle est ramen´ ee `
a 0,1 dans le cas d’un ´
ecoulement
en canal plan. Le probl` eme majeur de ce mod` ele est qu’il va agir sur l’´ ecoulement
d` es que le champ de vitesse r´ esolu poss` ede des variations spatiales. Ce mod` ele est
incapable de d´ ecrire la transition d’un ´
etat laminaire vers un ´
etat turbulent. Pire
encore, l’´ ecoulement turbulent peut se relaminariser sous l’effet du mod` ele.
9.4.3.2 Le mod` ele TKE (Turbulent Kinetic Energy)
On cherche `
a exprimer la viscosit´ e ν sm en fonction de la longueur de coupure Δ ,
de l’´ energie cin´ etique des ´
echelles de sous-maille q 2
sm . L’´ energie cin´ etique de sousmaille est suppos´ ee ˆ
etre ´
egale `
a l’´ energie cin´ etique `
a la coupure q 2
c :
q
2
sm ≡ q
2
c =
1
2
(u i
�
)(u i
�
)
o` u la vitesse `
a la coupure (u i
� ) peut ˆ
etre ´
evalu´ ee grˆ ace `
a un double filtrage des
´
echelles r´ esolues, (˜ .) ´
etant un filtre test :
(u i
�
) = u i − ˜
u i
Donc :
ν sm = C T KE Δ (q
2
sm )
1
2
La constante C T KE est g´ en´ eralement prise ´
egale `
a 0,2. Ce mod` ele s’annule par construction dans les zones o` u la vitesse est ´
evalu´ ee correctement `
a partir des ´
equations
discr` etes. Cependant, les ´
echanges d’´ energie inter-´ echelles sont le plus souvent
sous-´ evalu´ es.
9.4.3.3 Le mod` ele d’´ echelles mixtes
Le mod` ele d’´ echelles mixtes est bas´ e sur l’´ energie cin´ etique des plus petites ´
echelles
r´ esolues de l’´ ecoulement. La viscosit´ e de sous-maille est ´
evalu´ ee par :