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9 Turbulence
∂ u i
∂t
+
∂ u i u j
∂ x j
= −
∂ p
∂ x i
+
∂
∂ x j
ν
∂ u i
∂ x j
+
∂ u j
∂ x i
Le terme non lin´ eaire u i u j apparu apr` es filtrage est alors `
a exprimer en fonction
des variables filtr´ ees. Pour ce faire, on d´ efinit alors le tenseur des contraintes de
sous-maille τ i j de la fac ¸on suivante :
τ i j = u i u j − u i u j
On a donc :
∂ u i
∂t
+
∂ u i u j
∂ x j
= −
∂ p∗
∂ x i
+
∂
∂ x j
ν
∂ u i
∂ x j
+
∂ u j
∂ x i
−
∂ τ i jM
∂ x j
o` u τ i jM est le tenseur modifi´ e τ i jM = τ i j −
1
3 τ i j δ i j
• p∗ = p +
1
3 τ i j δ i j est la pression modifi´ ee
• τ i j est la composante du tenseur des contraintes de sous-maille
Les informations li´ ees aux petites ´
echelles ´
etant perdues, tous les termes traduisant
l’effet des quantit´ es sont regroup´ es dans le terme τ i j . Ce terme repr´ esente les interactions entre ´
echelles r´ esolues et ´
echelles de sous-maille.
9.4.3 Mod´ elisation de sous-maille
Afin de mod´ eliser les termes de sous-maille, la quasi-totalit´ e des mod` eles existants
fait appel au concept de viscosit´ e turbulente, les mod` eles se diff´ erenciant en fait
essentiellement par la mani` ere de formuler cette viscosit´ e , ou par la mani` ere de
compl´ eter cette viscosit´ e par un terme de nature diff´ erente. Lorsque la viscosit´ e de
sous-maille ν sm est introduite, on a alors :
∂ u i
∂t
+
∂ u i u j
∂ x j
= −
∂ p∗
∂ x i
+
∂
∂ x j
(ν + ν sm )
∂ u i
∂ x j
+
∂ u j
∂ x i
Le terme inconnu τ i j a alors ´
et´ e remplac´ e par :
τ i j −
1
3
τ i j δ i j = −ν sm
∂ u i
∂ x j
+
∂ u j
∂ x i
On se d´ ebarrasse alors de la trace de τ i j en l’absorbant dans le terme de pression qui
se trouve modifi´ e, not´ e p∗. Il ne reste plus qu’` a mod´ eliser la viscosit´ e ν sm . Dans les
mod` eles pr´ esent´ es par la suite, la longueur Δ est choisie comme :
Δ = (Δ xΔ yΔ z)
1
3