9.4 La Simulation des Grandes Echelles
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de sous-maille les autres. Ces derni` eres seront prises en compte par le biais d’un
mod` ele statistique, appel´ e mod` ele de sous-maille. Le principe de la simulation des
grandes ´
echelles est donc d’isoler volontairement les grandes ´
echelles du reste de
l’´ ecoulement grˆ ace `
a une technique de filtrage spatial passe-bas en fr´ equence. Ainsi,
les grandes structures porteuses de l’´ energie sont calcul´ ees compl` etement. Les termes suppl´ ementaires, dits de sous-maille, apparus apr` es filtrage des ´
equations, et qui
repr´ esentent les interactions entre les petites structures et les grands tourbillons, sont
mod´ elis´ es en introduisant des hypoth` eses de fermeture pour le syst` eme d’´ equations
filtr´ ees.
9.4.2.1 Notion de filtrage
Le filtrage spatio-temporel (passe-bas en fr´ equence et passe-haut en ´
echelle) d’une
variable f(x,t) est obtenu dans l’espace physique par un produit de convolution entre
la fonction f `
a filtrer et la fonction filtre G(x,t) pr´ ed´ efinie.
f (x,t) =
+∞
−∞
+∞
−∞
f (y,t
�
)G(x − y,t − t
�
)dydt
�
On associe `
a la fonction filtre G(x,t) les ´
echelles de coupure en espace Δ et en temps
τ. la partie non-r´ esolue de f(x,t), relative aux ´
echelles de sous-maille, et not´ ee f’(x,t),
est alors d´ efinie dans le domaine physique par :
f
�
(x,t) = f (x,t) − f (x,t)
Le choix du filtre spatial est intrins` equement li´ e `
a la m´ ethode de simulation utilis´ ee.
La m´ ethode des volumes de contrˆ ole dans l’espace physique est g´ en´ eralement associ´ ee `
a un filtre type boˆ ıte, c’est-` a-dire que la valeur au noeud est le r´ esultat d’une
int´ egration sur la maille ´
el´ ementaire de calcul. En cons´ equence, toutes les “grosses
structures”, de taille strictement sup´ erieure `
a la taille de la maille Δ , que l’on appellera longueur de coupure, sont calcul´ ees grˆ ace aux ´
equations de conservation en
tout point du maillage. C’est pourquoi seul l’effet des petites structures, non capt´ ees
par le maillage, sur les grosses sera introduit dans les ´
equations.
9.4.2.2 Equations de conservation filtr´ ees dans l’espace physique
Les ´
equations constitutives de la simulation des grandes ´
echelles dans l’espace
physique sont donc obtenues en appliquant un filtre spatial aux ´
equations du mouvements et de l’´ energie :
∂ u i
∂ x i
= 0
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de sous-maille les autres. Ces derni` eres seront prises en compte par le biais d’un
mod` ele statistique, appel´ e mod` ele de sous-maille. Le principe de la simulation des
grandes ´
echelles est donc d’isoler volontairement les grandes ´
echelles du reste de
l’´ ecoulement grˆ ace `
a une technique de filtrage spatial passe-bas en fr´ equence. Ainsi,
les grandes structures porteuses de l’´ energie sont calcul´ ees compl` etement. Les termes suppl´ ementaires, dits de sous-maille, apparus apr` es filtrage des ´
equations, et qui
repr´ esentent les interactions entre les petites structures et les grands tourbillons, sont
mod´ elis´ es en introduisant des hypoth` eses de fermeture pour le syst` eme d’´ equations
filtr´ ees.
9.4.2.1 Notion de filtrage
Le filtrage spatio-temporel (passe-bas en fr´ equence et passe-haut en ´
echelle) d’une
variable f(x,t) est obtenu dans l’espace physique par un produit de convolution entre
la fonction f `
a filtrer et la fonction filtre G(x,t) pr´ ed´ efinie.
f (x,t) =
+∞
−∞
+∞
−∞
f (y,t
�
)G(x − y,t − t
�
)dydt
�
On associe `
a la fonction filtre G(x,t) les ´
echelles de coupure en espace Δ et en temps
τ. la partie non-r´ esolue de f(x,t), relative aux ´
echelles de sous-maille, et not´ ee f’(x,t),
est alors d´ efinie dans le domaine physique par :
f
�
(x,t) = f (x,t) − f (x,t)
Le choix du filtre spatial est intrins` equement li´ e `
a la m´ ethode de simulation utilis´ ee.
La m´ ethode des volumes de contrˆ ole dans l’espace physique est g´ en´ eralement associ´ ee `
a un filtre type boˆ ıte, c’est-` a-dire que la valeur au noeud est le r´ esultat d’une
int´ egration sur la maille ´
el´ ementaire de calcul. En cons´ equence, toutes les “grosses
structures”, de taille strictement sup´ erieure `
a la taille de la maille Δ , que l’on appellera longueur de coupure, sont calcul´ ees grˆ ace aux ´
equations de conservation en
tout point du maillage. C’est pourquoi seul l’effet des petites structures, non capt´ ees
par le maillage, sur les grosses sera introduit dans les ´
equations.
9.4.2.2 Equations de conservation filtr´ ees dans l’espace physique
Les ´
equations constitutives de la simulation des grandes ´
echelles dans l’espace
physique sont donc obtenues en appliquant un filtre spatial aux ´
equations du mouvements et de l’´ energie :
∂ u i
∂ x i
= 0