9.3 La mod´ elisation statistique
205
τ
t
= ρ ν t
∂ u
∂ y
En introduisant la fonction de courant
ψ = U xF(ξ )
o` u ξ = C y/x est une autre variable d’autosimilitude, on peut utiliser la mˆ eme
proc´ edure que celle appliqu´ ee pour la couche limite et obtenir une ´
equation :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
F
���
+ 2C F F
��
= 0
F
�
(−∞) = 0
F
�
(+∞) = 2/C
On peut d´ evelopper le produit C F(ξ ) en une somme :
C F(ξ ) = ξ + G 1 (ξ ) + G 2 (ξ ) + ...
o` u G 1 (ξ ) est solution de
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
G
���
1 + 2ξ G
��
1 = 0
G
�
(−∞) = 0
G
�
(+∞) = 1
G
�
(0) = 0
u
V
= 1 +
2
√ π
� ξ
0
e
−z 2 dz
La solution s’´ ecrit :
u
V 0
= 0.5 +
1
√
π
� ξ
0
e
−z 2 dz