9.3 La mod´ elisation statistique
203
En int´ egrant cette expression dans la premi` ere ´
equation on obtient :
u
∂ u
∂ x
+ v
∂ u
∂ y
= −
1
ρ
∂ p 0
∂ x
+ ν
∂ 2 u
∂ y 2 −
�
∂ u � v �
∂ y
+
∂ (u � 2 − u � 2 )
∂ x
�
On peut n´ egliger le dernier terme de cette ´
equation ou bien l’int´ egrer dans le gradient
de pression pour en d´ efinir une nouvelle pression p ∗ :
p = p 0 + ρ
�
u � 2 − v � 2 )
�
L’´ equation devient :
u
∂ u
∂ x
+ v
∂ u
∂ y
= −
1
ρ
∂ p ∗
∂ x
+ ν
∂ 2 u
∂ y 2 −
∂ u � v �
∂ y
Les ´
ecoulement turbulents `
a grands nombres de Reynolds sont principalement
domin´ es par une diffusion turbulente et le terme de diffusion laminaire peut ˆ
etre
ainsi n´ eglig´ e :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
u
∂ u
∂ x
+ v
∂ u
∂ y
= −
1
ρ
∂ p ∗
∂ x
−
∂ u � v �
∂ y
∂ u
∂ x
+
∂ v
∂ y
= 0
De mˆ eme dans la pratique le terme de gradient de pression axiale est faible par
rapport aux contraintes turbulentes et on peut le n´ egliger. Le syst` eme d’´ equations
s’´ ecrit finalement :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
u
∂ u
∂ x
+ v
∂ u
∂ y
= −
∂ u � v �
∂ y
∂ u
∂ x
+
∂ v
∂ y
= 0
9.3.10 Recherche d’une solution auto-similaire
Comme pour la couche limite laminaire il est possible de transformer le syst` eme
pr´ ec´ edent une ´
equation unique par un changement de variables sous la forme d’une
variable d’autosimilitude η :
u
V 0
= f
� y
δ
�
= f (η)