202
9 Turbulence
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂ ρ u
∂ t
+
∂ ρ u 2
∂ x
+
∂ ρ u v
∂ y
+
∂ ρ u w
∂ z
= −
∂ p
∂ x
+ μ∇
2 u −
�
∂ ρ u � 2
∂ x
+
∂ ρ u � v �
∂ y
+
∂ ρ u � w �
∂ z
�
∂ ρ v
∂ t
+
∂ ρ u v
∂ x
+
∂ ρ v 2
∂ y
+
∂ ρ v w
∂ z
= −
∂ p
∂ y
+ μ∇
2 v −
�
∂ ρ u � v �
∂ x
+
∂ ρ v � 2
∂ y
+
∂ ρ v � w �
∂ z
�
∂ ρ w
∂ t
+
∂ ρ u v
∂ x
+
∂ ρ v w
∂ y
+
∂ ρ w 2
∂ z
= −
∂ p
∂ z
+ μ∇
2 w −
�
∂ ρ u � w �
∂ x
+
∂ ρ v � w �
∂ y
+
∂ ρ w � 2
∂ z
�
avec
∂ u
∂ x
+
∂ v
∂ y
+
∂ w
∂ z
= 0
L’´ ecoulement est ici quasi-bidimensionnel et stationnaire et `
a masse volumique constante; les ´
equations deviennent :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
u
∂ u
∂ x
+ v
∂ u
∂ y
= −
1
ρ
∂ p
∂ x
+ ν
� ∂ 2 u
∂ x 2 +
∂ 2 u
∂ y 2
�
−
�
∂ u � 2
∂ x
+
∂ u � v �
∂ y
�
u
∂ v
∂ x
+ v
∂ v
∂ y
= −
1
ρ
∂ p
∂ y
+ ν
� ∂ 2 v
∂ x 2 +
∂ 2 v
∂ y 2
�
−
�
∂ u � v �
∂ x
+
∂ v � 2
∂ y
�
∂ u
∂ x
+
∂ v
∂ y
= 0
On n´ eglige les termes de diffusion axiale :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
u
∂ u
∂ x
+ v
∂ u
∂ y
= −
1
ρ
∂ p
∂ x
+ ν
∂ 2 u
∂ y 2 −
�
∂ u � 2
∂ x
+
∂ u � v �
∂ y
�
0 = −
1
ρ
∂ p
∂ y
−
∂ v � 2
∂ y
∂ u
∂ x
+
∂ v
∂ y
= 0
La seconde ´
equation peut ˆ
etre int´ egr´ ee avec la condition p = p 0 `
a l’infini; on
obtient alors :
p = p 0 − ρ v � 2