9.3 La mod´ elisation statistique
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question. Ainsi, mˆ eme dans le cas d’´ ecoulements simples bidimensionnels (par exemple, l’´ ecoulement 2D non-d´ ecoll´ e au dessus d’une bosse dans un canal, les profils
de vitesse ne s’alignent pas sur les lois de paroi standard. L’alternative classique consid` ere l’emploi de fonctions d’amortissement (ou ”damping functions”), introduites
peut mod´ eliser les effets visqueux en proche-paroi sur la turbulence.
Malheureusement, tous ces mod` eles utilisent une approche en un point, qui est
incapable de repr´ esenter les effets non-locaux de r´ eflexion de la pression, induits
par la pr´ esence de parois solides. De plus, ces fonctions d’amortissement ont souvent recours `
a la distance `
a la paroi, qu’il est difficile d’utiliser, ou parfois mˆ eme
de d´ efinir, dans le cas de g´ eom´ etries complexes tridimensionnelles. Elles peuvent
´
egalement introduire d’importantes instabilit´ es num´ eriques dues `
a leur caract` ere
fortement non-lin´ eaire.
Afin de mod´ eliser ces propri´ et´ es non-locales de la turbulence en proche-paroi, et
afin d’´ eviter le recours aux corr´ elations en deux points, inutilisables en turbulence
non-homog` ene, le mod` ele V2F introduit un op´ erateur elliptique pour ´
evaluer les
termes de corr´ elation pression-d´ eformation.
L’autre principale caract´ eristique du mod` ele V2F est l’utilisation d’une nouvelle
´
echelle de vitesse de la turbulence, v 2 (qui, dans certains cas, peut ˆ
etre regard´ ee
comme un terme moyenn´ e de fluctuations de vitesse normales aux lignes de courant
de l’´ ecoulement moyen), en lieu et place de la ”classique” ´
energie cin´ etique turbulente, k, pour ´
evaluer la viscosit´ e turbulente. L’analyse des ´
equations du second
ordre montrent que k est incapable de mod´ eliser l’amortissement du transport par
la turbulence pr` es des parois solides, celui-ci ´
etant bien ´
evalu´ e par les fluctuations
normales `
a cette paroi.
Enfin, des contraintes de r´ ealisibilit´ e ont ´
et´ e introduites implicitement dans le
syst` eme d’´ equations afin d’´ eviter l’obtention de solutions non-physiques (v 2 < 0,
v 2 > 2k).
9.3.7.1 Les ´
equations du mod` ele V2F
D t U = −∇P + ∇ ·
(ν + ν t )(∇U + ∇
t U)
(9.1)
∇ ·U = 0
D t k = P − ε + ∇ · ((ν + ν t )∇k)
D t ε =
C �
ε 1
P −C ε 2 ε
T
+ ∇ ·
(ν +
ν t
σ ε
)∇ε
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question. Ainsi, mˆ eme dans le cas d’´ ecoulements simples bidimensionnels (par exemple, l’´ ecoulement 2D non-d´ ecoll´ e au dessus d’une bosse dans un canal, les profils
de vitesse ne s’alignent pas sur les lois de paroi standard. L’alternative classique consid` ere l’emploi de fonctions d’amortissement (ou ”damping functions”), introduites
peut mod´ eliser les effets visqueux en proche-paroi sur la turbulence.
Malheureusement, tous ces mod` eles utilisent une approche en un point, qui est
incapable de repr´ esenter les effets non-locaux de r´ eflexion de la pression, induits
par la pr´ esence de parois solides. De plus, ces fonctions d’amortissement ont souvent recours `
a la distance `
a la paroi, qu’il est difficile d’utiliser, ou parfois mˆ eme
de d´ efinir, dans le cas de g´ eom´ etries complexes tridimensionnelles. Elles peuvent
´
egalement introduire d’importantes instabilit´ es num´ eriques dues `
a leur caract` ere
fortement non-lin´ eaire.
Afin de mod´ eliser ces propri´ et´ es non-locales de la turbulence en proche-paroi, et
afin d’´ eviter le recours aux corr´ elations en deux points, inutilisables en turbulence
non-homog` ene, le mod` ele V2F introduit un op´ erateur elliptique pour ´
evaluer les
termes de corr´ elation pression-d´ eformation.
L’autre principale caract´ eristique du mod` ele V2F est l’utilisation d’une nouvelle
´
echelle de vitesse de la turbulence, v 2 (qui, dans certains cas, peut ˆ
etre regard´ ee
comme un terme moyenn´ e de fluctuations de vitesse normales aux lignes de courant
de l’´ ecoulement moyen), en lieu et place de la ”classique” ´
energie cin´ etique turbulente, k, pour ´
evaluer la viscosit´ e turbulente. L’analyse des ´
equations du second
ordre montrent que k est incapable de mod´ eliser l’amortissement du transport par
la turbulence pr` es des parois solides, celui-ci ´
etant bien ´
evalu´ e par les fluctuations
normales `
a cette paroi.
Enfin, des contraintes de r´ ealisibilit´ e ont ´
et´ e introduites implicitement dans le
syst` eme d’´ equations afin d’´ eviter l’obtention de solutions non-physiques (v 2 < 0,
v 2 > 2k).
9.3.7.1 Les ´
equations du mod` ele V2F
D t U = −∇P + ∇ ·
(ν + ν t )(∇U + ∇
t U)
(9.1)
∇ ·U = 0
D t k = P − ε + ∇ · ((ν + ν t )∇k)
D t ε =
C �
ε 1
P −C ε 2 ε
T
+ ∇ ·
(ν +
ν t
σ ε
)∇ε