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9 Turbulence
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂ k
∂ t
+ V · ∇k = ∇ ·
��
ν +
ν t
σ k
�
∇k
�
+ ν t ∇V :
� ∇V + ∇
t
V
�
− ε
∂ ε
∂ t
+ V · ∇ε = ∇ ·
��
ν +
ν t
σ ε
�
∇ε
�
+C 1
ε
k
ν t ∇V :
�
∇V + ∇
t
V
�
−C 2
ε 2
k
avec ν t = C μ
k 2
ε
.
et C μ = 0.085, C 1 = 1.42,
η (1 − η/η 0 )
(1 + β η 3 )
, C 2 = 1.68, σ k = 0.7179, σ ε = 0.7179
η =
�
2
�
∇V + ∇ t V
� :
� ∇V + ∇ t V
�
ε
, η 0 = 4.38, β = 0.015.
9.3.7 Mod` ele de turbulence V2F
Le compromis actuel entre capacit´ e des ordinateurs et contraintes de pr´ ecision, de
stabilit´ e et de temps des calcul rencontr´ ees dans l’industrie, dirige le choix vers
les mod` eles moyenn´ es `
a viscosit´ e turbulente. Aucun de ces mod` eles n’est universel, le monde a´ eronautique se tourne plutˆ ot vers des mod` eles du type JohnsonKing, Spalart-Almaras, k −ω, d’autres domaines comme le refroidissement de composants d’ordinateurs utilisent principalement le k − ε ou ses variantes. Mais, tous
ces mod` eles ont ´
et´ e d´ evelopp´ es pour des ´
ecoulements parall` eles aux parois. Toutefois, de nombreuses situations mettent en jeu des zones d’impact `
a 90 o fluide-paroi
solide, o` u la majorit´ e des mod` eles sont peu performants. En particulier, une surestimation de la turbulence est souvent pr´ edite dans ces zones d’impact, avec des
cons´ equences dramatiques pour la pr´ ediction de tous ph´ enom` enes de m´ elange (par
exemple, les transferts thermiques au point d’impact pr´ edits pour le k − ε dans le
cas d’un jet impactant une paroi plane, sont sur´ evalu´ es de plus de 100%).
Le mod` ele V2F vient s’intercaler entre les mod` eles `
a viscosit´ e turbulente et une
mod´ elisation au second ordre. Il conserve l’hypoth` ese de viscosit´ e turbulente, essentielle pour conserver une forte stabilit´ e num´ erique, caract´ eristique primordiale pour
l’industrie. Mais, il est capable de pr´ edire l’anisotropie de la turbulence en procheparoi, tr` es importante dans le cas de zones d’impact fluide-solide. Ce mod` ele a ´
et´ e
appliqu´ e `
a de nombreux cas-tests acad´ emiques et a prouv´ e `
a plusieurs reprises sa
sup´ eriorit´ e sur les mod` eles standard (k − ε en particulier). Le lecteur peut se r´ ef´ erer
`
a la bibliographie pour plus de d´ etails `
a ce niveau.
Les bases du mod` ele de turbulence V2F ont ´
et´ e pos´ ees par P. Durbin [15] `
a la
NASA. Le mod` ele peut ˆ
eˆ etre vu comme la restriction du mod` ele complet du second ordre, d´ evelopp´ e en parall` ele. Le mod` ele V2F a l’avantage principal de conserver l’utilisation d’une viscosit´ e turbulente, qui ´
evite les probl` emes de stabilit´ e
num´ erique rencontr´ es avec les fermetures du second ordre. Le mod` ele est valide
dans tout le domaine fluide, ce jusqu’aux parois solides. Il n’a pas recours aux
c´ el` ebres lois de parois ou lois logarithmiques, qui sont de plus en plus remises en
9 Turbulence
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂ k
∂ t
+ V · ∇k = ∇ ·
��
ν +
ν t
σ k
�
∇k
�
+ ν t ∇V :
� ∇V + ∇
t
V
�
− ε
∂ ε
∂ t
+ V · ∇ε = ∇ ·
��
ν +
ν t
σ ε
�
∇ε
�
+C 1
ε
k
ν t ∇V :
�
∇V + ∇
t
V
�
−C 2
ε 2
k
avec ν t = C μ
k 2
ε
.
et C μ = 0.085, C 1 = 1.42,
η (1 − η/η 0 )
(1 + β η 3 )
, C 2 = 1.68, σ k = 0.7179, σ ε = 0.7179
η =
�
2
�
∇V + ∇ t V
� :
� ∇V + ∇ t V
�
ε
, η 0 = 4.38, β = 0.015.
9.3.7 Mod` ele de turbulence V2F
Le compromis actuel entre capacit´ e des ordinateurs et contraintes de pr´ ecision, de
stabilit´ e et de temps des calcul rencontr´ ees dans l’industrie, dirige le choix vers
les mod` eles moyenn´ es `
a viscosit´ e turbulente. Aucun de ces mod` eles n’est universel, le monde a´ eronautique se tourne plutˆ ot vers des mod` eles du type JohnsonKing, Spalart-Almaras, k −ω, d’autres domaines comme le refroidissement de composants d’ordinateurs utilisent principalement le k − ε ou ses variantes. Mais, tous
ces mod` eles ont ´
et´ e d´ evelopp´ es pour des ´
ecoulements parall` eles aux parois. Toutefois, de nombreuses situations mettent en jeu des zones d’impact `
a 90 o fluide-paroi
solide, o` u la majorit´ e des mod` eles sont peu performants. En particulier, une surestimation de la turbulence est souvent pr´ edite dans ces zones d’impact, avec des
cons´ equences dramatiques pour la pr´ ediction de tous ph´ enom` enes de m´ elange (par
exemple, les transferts thermiques au point d’impact pr´ edits pour le k − ε dans le
cas d’un jet impactant une paroi plane, sont sur´ evalu´ es de plus de 100%).
Le mod` ele V2F vient s’intercaler entre les mod` eles `
a viscosit´ e turbulente et une
mod´ elisation au second ordre. Il conserve l’hypoth` ese de viscosit´ e turbulente, essentielle pour conserver une forte stabilit´ e num´ erique, caract´ eristique primordiale pour
l’industrie. Mais, il est capable de pr´ edire l’anisotropie de la turbulence en procheparoi, tr` es importante dans le cas de zones d’impact fluide-solide. Ce mod` ele a ´
et´ e
appliqu´ e `
a de nombreux cas-tests acad´ emiques et a prouv´ e `
a plusieurs reprises sa
sup´ eriorit´ e sur les mod` eles standard (k − ε en particulier). Le lecteur peut se r´ ef´ erer
`
a la bibliographie pour plus de d´ etails `
a ce niveau.
Les bases du mod` ele de turbulence V2F ont ´
et´ e pos´ ees par P. Durbin [15] `
a la
NASA. Le mod` ele peut ˆ
eˆ etre vu comme la restriction du mod` ele complet du second ordre, d´ evelopp´ e en parall` ele. Le mod` ele V2F a l’avantage principal de conserver l’utilisation d’une viscosit´ e turbulente, qui ´
evite les probl` emes de stabilit´ e
num´ erique rencontr´ es avec les fermetures du second ordre. Le mod` ele est valide
dans tout le domaine fluide, ce jusqu’aux parois solides. Il n’a pas recours aux
c´ el` ebres lois de parois ou lois logarithmiques, qui sont de plus en plus remises en