9.3 La mod´ elisation statistique
197
due aux fluctuations de vitesse −ρ
� v � ε
� = μ t /σ ε ∇ε et les termes source et puits
rendant compte globalement de la cascade ´
energ´ etique et de l’action de destruction
par la viscosit´ e, on obtient le mod` ele `
a deux ´
equations de transport dit de (k − ε) :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∇ · V = 0
ρ
� ∂ V
∂ t
+ V · ∇V
�
= −∇
�
p +
2
3
ρ k
�
+ ∇ ·
�
(μ + μ t )
�
∇V + ∇ t V
��
∂ k
∂ t
+ V · ∇k = ∇ ·
��
ν +
ν t
σ k
�
∇k
�
+ ν t ∇V :
� ∇V + ∇
t
V
�
− ε
∂ ε
∂ t
+ V · ∇ε = ∇ ·
��
ν +
ν t
σ ε
�
∇ε
�
+C 1
ε
k
ν t ∇V :
�
∇V + ∇
t
V
�
−C 2
ε 2
k
avec ν t = C μ
k 2
ε
.
L’un des principaux probl` emes de ce type de mod` ele est l’introduction de constantes inconnues que l’on d´ etermine en r´ ealisant des exp´ eriences particuli` eres. Par
exemple il est possible d’´ evaluer la constante C 2 en ´
etudiant la d´ ecroissance de
la turbulence derri` ere une grille. Ainsi les valeurs les plus couramment utilis´ ees
sont : C μ = 0.09, C 1 = 1.44, C 2 = 1.92, σ k = 1, σ ε = 1.3, Pr t = 0.9. Toutefois
l’universalit´ e de ces constantes n’est pas du tout assur´ ee. Leur utilisation dans certains ´
ecoulements peut engendrer des erreurs importantes. Par exemple l’hypoth` ese
de turbulence d´ evelopp´ ee n’est valable qu’assez loin des parois. Pour cette raison
on associe souvent au mod` ele (k, ε) une loi de paroi, permettant de pouvoir ´
etudier
des ´
ecoulements dans des canaux ou autour d’obstacles solides.
Ce mod` ele (k, ε) engendre pour certains ´
ecoulements une dissipation trop forte
ce qui contribue `
a augmenter la diffusion turbulente et `
a minimiser le rˆ ole des structures turbulentes. Notamment pour le cas de la marche descendante, la longueur de
recirculation est trop faible par rapport `
a la r´ ealit´ e.
9.3.6 Mod` ele de turbulence RNG
Un mod` ele proche du (k, ε), bas´ e sur la th´ eorie du groupe de renormalisation a ´
et´ e
d´ evelopp´ e assez r´ ecemment, le mod` ele RNG. En fait ce syst` eme est similaire au
(k, ε), seules les constantes, d´ etermin´ ees empiriquement, sont diff´ erentes, en particulier la constante C 1 est maintenant d´ ependante de l’´ ecoulement.
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due aux fluctuations de vitesse −ρ
� v � ε
� = μ t /σ ε ∇ε et les termes source et puits
rendant compte globalement de la cascade ´
energ´ etique et de l’action de destruction
par la viscosit´ e, on obtient le mod` ele `
a deux ´
equations de transport dit de (k − ε) :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∇ · V = 0
ρ
� ∂ V
∂ t
+ V · ∇V
�
= −∇
�
p +
2
3
ρ k
�
+ ∇ ·
�
(μ + μ t )
�
∇V + ∇ t V
��
∂ k
∂ t
+ V · ∇k = ∇ ·
��
ν +
ν t
σ k
�
∇k
�
+ ν t ∇V :
� ∇V + ∇
t
V
�
− ε
∂ ε
∂ t
+ V · ∇ε = ∇ ·
��
ν +
ν t
σ ε
�
∇ε
�
+C 1
ε
k
ν t ∇V :
�
∇V + ∇
t
V
�
−C 2
ε 2
k
avec ν t = C μ
k 2
ε
.
L’un des principaux probl` emes de ce type de mod` ele est l’introduction de constantes inconnues que l’on d´ etermine en r´ ealisant des exp´ eriences particuli` eres. Par
exemple il est possible d’´ evaluer la constante C 2 en ´
etudiant la d´ ecroissance de
la turbulence derri` ere une grille. Ainsi les valeurs les plus couramment utilis´ ees
sont : C μ = 0.09, C 1 = 1.44, C 2 = 1.92, σ k = 1, σ ε = 1.3, Pr t = 0.9. Toutefois
l’universalit´ e de ces constantes n’est pas du tout assur´ ee. Leur utilisation dans certains ´
ecoulements peut engendrer des erreurs importantes. Par exemple l’hypoth` ese
de turbulence d´ evelopp´ ee n’est valable qu’assez loin des parois. Pour cette raison
on associe souvent au mod` ele (k, ε) une loi de paroi, permettant de pouvoir ´
etudier
des ´
ecoulements dans des canaux ou autour d’obstacles solides.
Ce mod` ele (k, ε) engendre pour certains ´
ecoulements une dissipation trop forte
ce qui contribue `
a augmenter la diffusion turbulente et `
a minimiser le rˆ ole des structures turbulentes. Notamment pour le cas de la marche descendante, la longueur de
recirculation est trop faible par rapport `
a la r´ ealit´ e.
9.3.6 Mod` ele de turbulence RNG
Un mod` ele proche du (k, ε), bas´ e sur la th´ eorie du groupe de renormalisation a ´
et´ e
d´ evelopp´ e assez r´ ecemment, le mod` ele RNG. En fait ce syst` eme est similaire au
(k, ε), seules les constantes, d´ etermin´ ees empiriquement, sont diff´ erentes, en particulier la constante C 1 est maintenant d´ ependante de l’´ ecoulement.