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9 Turbulence
−ρ
v � ⊗ v � −
2
3
k I
= μ t
훀
∇V + ∇
t
V −
2
3
∇ · V I
Notons que le terme isotrope d’´ energie cin´ etique turbulente introduit dans cette relation de Boussinesq, initialement pour assurer l’´ egalit´ e dans le cas de la contraction
d’indices, attribue en fait `
a l’´ energie cin´ etique turbulente le rˆ ole d’une pression turbulente due aux mouvements d’agitation.
Le probl` eme revient maintenant `
a ´
evaluer, d’une part, la viscosit´ e μ t , d’autre
part, l’´ energie cin´ etique de la turbulence, permettant d’´ evaluer un couple d’´ echelles
caract´ eristiques de vitesse et de longueur.
9.3.5 Mod` ele de turbulence k − ε
En multipliant scalairement l’´ equation de la quantit´ e de mouvement fluctuante
obtenue par soustraction de l’´ equation instantan´ ee de Navier-Stokes et l’´ equation
moyenn´ ee, par le vecteur vitesse fluctuante, puis en moyennant l’expression r´ esultante,
il est possible d’´ evaluer l’´ equation exacte r´ egissant le transport de l’´ energie cin´ etique
turbulente k = 0.5v � · v � .
ρ
∂ k
∂ t
+ V · ∇k
= −ρ
v � ⊗ v �
: ∇V − ρ∇
k v �
− v � · ∇p + ∇ · (μ ∇k) − μ
∇v � : ∇v �
La mod´ elisation du terme de corr´ elation vitesse fluctuante-pression fluctuante, il
est pratiquement impossible de la mesurer exp´ erimentalement en un point donn´ e
car le positionnement d’une sonde de pression au sein de l’´ ecoulement annulerait
la vitesse en ce point. La m´ ethode la plus simple est d’inclure la mod´ elisation de
ce terme dans la valeur σ k , param` etre ayant d´ ej` a un caract` ere empirique. Le dernier
terme `
a mod´ eliser μ
∇v � : ∇v �
peut ˆ
etre assimil´ e, sauf dans les r´ egions fortement
anisotropes `
a proximit´ e des parois, `
a un taux de dissipation de l’´ energie cin´ etique
turbulente.
A ce stade, deux solutions sont possibles. La premi` ere consiste `
a ´
ecrire l’hypoth` ese
d’´ equilibre : production = dissipation, soit :
ρ
v � ⊗ v �
: ∇V = 0.5 μ
∇V + ∇ t V
:
∇V + ∇ t V
On en d´ eduit que ε est de l’ordre de V 3
c l, on peut dans ces conditions le remplacer
par ρ ε = ρ C D k 3/2 /l. Pour achever la d´ emarche, il reste `
a ´
evaluer alg´ ebriquement
l’´ echelle de longueur caract´ eristique l, loi posant un gros probl` eme d’universalit´ e.
La seconde solution est d’introduire une deuxi` eme ´
echelle de longueur. L’une des
m´ ethodes les plus utilis´ ees est d’´ ecrire l’´ equation exacte pour le terme de dissipation
: ε = ν
∇v � : ∇v �
. En n´ egligeant aux grands nombres de Reynolds les termes de
production compl´ ementaire ainsi que les termes de diffusion dus aux fluctuations de
pression, puis en mod´ elisant de fac ¸on classique les termes de diffusion turbulente
9 Turbulence
−ρ
v � ⊗ v � −
2
3
k I
= μ t
훀
∇V + ∇
t
V −
2
3
∇ · V I
Notons que le terme isotrope d’´ energie cin´ etique turbulente introduit dans cette relation de Boussinesq, initialement pour assurer l’´ egalit´ e dans le cas de la contraction
d’indices, attribue en fait `
a l’´ energie cin´ etique turbulente le rˆ ole d’une pression turbulente due aux mouvements d’agitation.
Le probl` eme revient maintenant `
a ´
evaluer, d’une part, la viscosit´ e μ t , d’autre
part, l’´ energie cin´ etique de la turbulence, permettant d’´ evaluer un couple d’´ echelles
caract´ eristiques de vitesse et de longueur.
9.3.5 Mod` ele de turbulence k − ε
En multipliant scalairement l’´ equation de la quantit´ e de mouvement fluctuante
obtenue par soustraction de l’´ equation instantan´ ee de Navier-Stokes et l’´ equation
moyenn´ ee, par le vecteur vitesse fluctuante, puis en moyennant l’expression r´ esultante,
il est possible d’´ evaluer l’´ equation exacte r´ egissant le transport de l’´ energie cin´ etique
turbulente k = 0.5v � · v � .
ρ
∂ k
∂ t
+ V · ∇k
= −ρ
v � ⊗ v �
: ∇V − ρ∇
k v �
− v � · ∇p + ∇ · (μ ∇k) − μ
∇v � : ∇v �
La mod´ elisation du terme de corr´ elation vitesse fluctuante-pression fluctuante, il
est pratiquement impossible de la mesurer exp´ erimentalement en un point donn´ e
car le positionnement d’une sonde de pression au sein de l’´ ecoulement annulerait
la vitesse en ce point. La m´ ethode la plus simple est d’inclure la mod´ elisation de
ce terme dans la valeur σ k , param` etre ayant d´ ej` a un caract` ere empirique. Le dernier
terme `
a mod´ eliser μ
∇v � : ∇v �
peut ˆ
etre assimil´ e, sauf dans les r´ egions fortement
anisotropes `
a proximit´ e des parois, `
a un taux de dissipation de l’´ energie cin´ etique
turbulente.
A ce stade, deux solutions sont possibles. La premi` ere consiste `
a ´
ecrire l’hypoth` ese
d’´ equilibre : production = dissipation, soit :
ρ
v � ⊗ v �
: ∇V = 0.5 μ
∇V + ∇ t V
:
∇V + ∇ t V
On en d´ eduit que ε est de l’ordre de V 3
c l, on peut dans ces conditions le remplacer
par ρ ε = ρ C D k 3/2 /l. Pour achever la d´ emarche, il reste `
a ´
evaluer alg´ ebriquement
l’´ echelle de longueur caract´ eristique l, loi posant un gros probl` eme d’universalit´ e.
La seconde solution est d’introduire une deuxi` eme ´
echelle de longueur. L’une des
m´ ethodes les plus utilis´ ees est d’´ ecrire l’´ equation exacte pour le terme de dissipation
: ε = ν
∇v � : ∇v �
. En n´ egligeant aux grands nombres de Reynolds les termes de
production compl´ ementaire ainsi que les termes de diffusion dus aux fluctuations de
pression, puis en mod´ elisant de fac ¸on classique les termes de diffusion turbulente