9.3 La mod´ elisation statistique
195
Elles sont appel´ ees contraintes de Reynolds.
Et:
∂ ρ u
∂ t
+
∂ ρ u 2
∂ x
+
∂ ρ u v
∂ y
+
∂ ρ u w
∂ z
= −
∂ p
∂ x
+ ρg x + ∇ · τ l + ∇ · τ t
L’avant dernier terme repr´ esente les contraintes visqueuses et le dernier les contraintes turbulentes.
Sous une forme plus compacte :
∂ ρ v i
∂ t
+
∂ ρ v i v j
∂ x j
= −
∂ p
∂ x i
+ ρg x +
∂ τ l
i j
∂ x j
+
∂ τ t
i j
∂ x j
avec τ t
xx = −ρ v �
i v �
j
Les contraintes de Reynolds apparaissent comme des inconnues suppl´ ementaires
introduites par la d´ ecomposition sur un syst` eme non lin´ eaire. Le probl` eme de
l’analyse statistique consiste en une mod´ elisation de ces contraintes. Il faut ´
etablir
un mod` ele permettant le calcul des contraintes turbulentes `
a partir des variables
repr´ esentant l’´ ecoulement moyen. C’est le ”probl` eme de la fermeture” qui reste une
difficult´ e fondamentale lors de la mod´ elisation de la turbulence.
9.3.4 Hypoth` eses de fermeture
Deux possibilit´ es sont offertes, elles correspondent `
a une fermeture au premier ou
au second ordre. La premi` ere est bas´ ee sur une analyse du comportement d’un
´
ecoulement turbulent permettant d’´ evaluer directement les tensions de Reynolds en
fonction du champ moyenn´ e (V, p). De ces techniques bas´ ees sur le concept de
viscosit´ e turbulente, d´ ecoulent les mod` eles `
a 0, 1, 2 ´
equations de transport permettant d’´ evaluer les ´
echelles de vitesse et de longueur caract´ eristique de la turbulence.
L’autre possibilit´ e est de consid´ erer les tensions de Reynolds comme des grandeurs
transportables susceptibles d’avoir une histoire d’´ evolution individuelle. Dans ce
cas, on voit apparaˆ ıtre de nouvelles inconnues, corr´ elations triples, qu’il faudra `
a
nouveau mod´ eliser.
Concept `
a viscosit´ e turbulente : Les mod` eles `
a viscosit´ e turbulente sont les
plus anciens. Ils consistent `
a consid´ erer que l’interaction entre le champ moyenn´ e
et le champ fluctuant se r´ eduit `
a un terme de dissipation. Cette technique a un double avantage. Tout d’abord, elle permet de reproduire le caract` ere tr` es diffusif de la
turbulence, mais elle introduit ´
egalement dans les ´
equations des termes importants
de diffusion venant contrebalancer les termes non-lin´ eaires de convection, toujours
difficiles `
a od´ eliser num´ eri-quement. Dans ces conditions nous r´ e-´ editons la mˆ eme
d´ emarche que lors de la formulation de la loi de comportement d’un fluide newtonien :
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Elles sont appel´ ees contraintes de Reynolds.
Et:
∂ ρ u
∂ t
+
∂ ρ u 2
∂ x
+
∂ ρ u v
∂ y
+
∂ ρ u w
∂ z
= −
∂ p
∂ x
+ ρg x + ∇ · τ l + ∇ · τ t
L’avant dernier terme repr´ esente les contraintes visqueuses et le dernier les contraintes turbulentes.
Sous une forme plus compacte :
∂ ρ v i
∂ t
+
∂ ρ v i v j
∂ x j
= −
∂ p
∂ x i
+ ρg x +
∂ τ l
i j
∂ x j
+
∂ τ t
i j
∂ x j
avec τ t
xx = −ρ v �
i v �
j
Les contraintes de Reynolds apparaissent comme des inconnues suppl´ ementaires
introduites par la d´ ecomposition sur un syst` eme non lin´ eaire. Le probl` eme de
l’analyse statistique consiste en une mod´ elisation de ces contraintes. Il faut ´
etablir
un mod` ele permettant le calcul des contraintes turbulentes `
a partir des variables
repr´ esentant l’´ ecoulement moyen. C’est le ”probl` eme de la fermeture” qui reste une
difficult´ e fondamentale lors de la mod´ elisation de la turbulence.
9.3.4 Hypoth` eses de fermeture
Deux possibilit´ es sont offertes, elles correspondent `
a une fermeture au premier ou
au second ordre. La premi` ere est bas´ ee sur une analyse du comportement d’un
´
ecoulement turbulent permettant d’´ evaluer directement les tensions de Reynolds en
fonction du champ moyenn´ e (V, p). De ces techniques bas´ ees sur le concept de
viscosit´ e turbulente, d´ ecoulent les mod` eles `
a 0, 1, 2 ´
equations de transport permettant d’´ evaluer les ´
echelles de vitesse et de longueur caract´ eristique de la turbulence.
L’autre possibilit´ e est de consid´ erer les tensions de Reynolds comme des grandeurs
transportables susceptibles d’avoir une histoire d’´ evolution individuelle. Dans ce
cas, on voit apparaˆ ıtre de nouvelles inconnues, corr´ elations triples, qu’il faudra `
a
nouveau mod´ eliser.
Concept `
a viscosit´ e turbulente : Les mod` eles `
a viscosit´ e turbulente sont les
plus anciens. Ils consistent `
a consid´ erer que l’interaction entre le champ moyenn´ e
et le champ fluctuant se r´ eduit `
a un terme de dissipation. Cette technique a un double avantage. Tout d’abord, elle permet de reproduire le caract` ere tr` es diffusif de la
turbulence, mais elle introduit ´
egalement dans les ´
equations des termes importants
de diffusion venant contrebalancer les termes non-lin´ eaires de convection, toujours
difficiles `
a od´ eliser num´ eri-quement. Dans ces conditions nous r´ e-´ editons la mˆ eme
d´ emarche que lors de la formulation de la loi de comportement d’un fluide newtonien :