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9 Turbulence
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂ u
∂ x
+
∂ v
∂ y
+
∂ w
∂ z
= 0
∂ u
∂ t
+
∂
∂ x
� u
2
� +
∂
∂ y
(u v) +
∂
∂ z
(u w) = −
1
ρ
∂ p
∂ x
+ g x + ν∇
2 u
∂ v
∂ t
+
∂
∂ x
(u v) +
∂
∂ y
� v
2
� +
∂
∂ z
(v w) = −
1
ρ
∂ p
∂ y
+ g y + ν∇
2 v
∂ w
∂ t
+
∂
∂ x
(u w) +
∂
∂ y
(v w) +
∂
∂ z
� w
2
� = −
1
ρ
∂ p
∂ z
+ g z + ν∇
2 w
La d´ ecomposition de Reynolds :
⎧
⎨
⎩
u = u + u �
v = v + v �
w = w + w �
conduit pour l’´ equation de conservation de la masse apr` es int´ egration `
a :
∂ u
∂ x
+
∂ v
∂ y
+
∂ w
∂ z
+
∂ u �
∂ x
+
∂ v �
∂ y
+
∂ w �
∂ z
= 0
En tenant compte des propri´ et´ es de la moyenne et en retranchant l’´ equation portant
sur les moyennes des composantes de la vitesse de l’´ equation initiale on a :
∂ u �
∂ x
+
∂ v �
∂ y
+
∂ w �
∂ z
= 0
C’est l’´ equation de continuit´ e sur les fluctuations.
Le mˆ eme traitement est appliqu´ e aux trois composantes de l’´ equation du mouvement. On ´
ecrit ci-dessous la composante sur x de l’´ equation pour les fluctuations
turbulentes :
∂ ρ u
∂ t
+
∂ ρ u 2
∂ x
+
∂ ρ u v
∂ y
+
∂ ρ u w
∂ z
= −
∂ p
∂ x
+ ρg x + μ∇
2 u −
∂ ρ u � 2
∂ x
−
∂ ρ u � v �
∂ y
−
∂ ρ u � w �
∂ z
Les derniers termes repr´ esentent le transfert de quantit´ e de mouvement suivant l’axe
x par les fluctuations turbulentes. Les termes −ρ u � 2 , −ρ u � v � , −ρ u � w � peuvent ˆ
etre
assimil´ es `
a des contraintes turbulentes agissant sur un volume de contrˆ ole dx dy dz.
La contrainte −ρ u � 2 est une contrainte normale, les deux autres sont des contraintes
de cisaillement. On utilise les notations :
⎧
⎨
⎩
τ t
xx = −ρ u � u �
τ t
xy = −ρ u � v �
τ t
xz = −ρ u � w �