9.3 La mod´ elisation statistique
193
avec ρ � = 0, V � = 0.
L’´ equation de continuit´ e devient:
∂ ρ
∂ t
+
∂ ρ �
∂ t
+ ∇ ·
�
ρ V
� + ∇ ·
�
ρ
�
V
�
� + ∇ ·
�
ρ V
�
� + ∇ ·
�
ρ
�
V
� = 0
En prenant la moyenne il vient :
∂ ρ
∂ t
+ ∇ ·
�
ρ V
� + ∇ ·
�
ρ � V �
� = 0
Pour les ´
ecoulements compressibles on utilise la d´ ecomposition de Favre qui
consiste `
a ´
ecrire :
Φ = �
Φ + Φ
�� , ou �
Φ =
ρ Φ
ρ
et ρ Φ �� = ρ �
Φ �� = 0
L’´ equation de continuit´ e devient alors avec ces d´ efinitions :
∂ ρ
∂ t
+ ∇ ·
�
ρ V
� = 0
∂ ρ
∂ t
+ ∇ ·
�
ρ �
V
�
+ ∇ ·
�
ρ �
V ��
�
= 0
∂ ρ
∂ t
+ ∇ ·
�
ρ �
V
�
= 0
Soit pour toutes les quantit´ es :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
ρ = ρ + ρ �
p = p + p �
V = �
V + V ��
T = �
T + T ��
9.3.3 Syst` eme d’´ equations moyenn´ ees
Reprenons le syst` eme d’´ equations dans sa formulation incompressible conservative
: