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9 Turbulence
sur un temps long :
Φ = lim
T →∞
1
T
T
0
Φ(x,t) dt
Dans la pratique on prend T suffisamment grand par rapport au temps caract´ eristique
des fluctuations.
La moyenne de la fluctuation est nulle :
Φ � = Φ + Φ = Φ − Φ = 0
Consid´ erons une deuxi` eme quantit´ e Ψ :
Ψ = Ψ +Ψ
�
Le produit Φ Ψ s’´ ecrit :
Φ Ψ =
Φ + Φ
�
Ψ +Ψ
�
= Φ Ψ + Φ
�
Φ +Ψ
�
Φ + Φ
�
Ψ
�
La moyenne temporelle prend alors la forme
Φ Ψ =
Φ + Φ �
Ψ +Ψ �
= Φ Ψ + Φ � Φ +Ψ � Φ + Φ � Ψ �
= Φ Ψ + Φ � Ψ �
La moyenne du produit de 2 quantit´ es ΦΨ = Produit des moyennes Φ Ψ + Moyenne
du produit des fluctuations Φ � Ψ �
Cette d´ ecomposition appliqu´ ee `
a un processus lin´ eaire conduit `
a un nombre croissant d’inconnues d’o` u la n´ ecessit´ e d’une fermeture.
La d´ ecomposition de Reynolds est utilis´ ee pour les ´
ecoulements incompressibles
mais elle conduit `
a des termes suppl´ ementaires pour des ´
ecoulements compressibles.
9.3.2 La d´ ecomposition de Favre
Consid´ erons la loi de conservation de la masse :
∂ ρ
∂ t
+ ∇ · (ρ V) = 0
Si on utilise la d´ ecomposition de Reynolds en compressible il vient :
ρ = ρ + ρ �
V = V + V �