9.3 La mod´ elisation statistique
191
9.2 Les concepts de base et les diff´ erentes approches
La turbulence peut ˆ
etre appr´ ehend´ ee de multiples mani` eres, descriptive comme
dans le chapitre pr´ ec´ edent ou de mani` ere plus quantitative `
a partir de mod` eles ou de
simulations ou les deux. L’objectif est bien sˆ ur de pouvoir repr´ esenter la turbulence
ou au moins ses effets. Plusieurs approches sont ainsi disponibles :
• La mod´ elisation statistique (RANS, Reynolds Averaged Navier-Stokes equations): les champs de vitesse, pression sont d´ ecompos´ es en valeurs moyennes et
fluctuation puis les concepts classiques en statistique conduisent `
a consid´ erer
des moyennes d’ensembles. Les corr´ elations d’ordre deux ou sup´ erieures sont
ensuite identifi´ ees par la phase de fermeture et un syst` eme d’´ equations sur les
quantit´ es moyenn´ ees est alors construit.
• La Simulation Num´ erique Directe (DNS, Direct Numerical Simulation) :
cette approche est bas´ ee sur la repr´ esentativit´ e de l’´ equation de Navier-Stokes
qui contient l’essentiel de la physique des ph´ enom` enes observ´ es. La r´ esolution
num´ erique avec des ´
echelles spatiales et temporelles adapt´ ees permet d’acc´ eder
`
a toutes les informations locales pour pouvoir r´ ealiser des moyennes.
• La Simulation des Grandes Echelles (LES, Large Eddy Simulation) : La
simulation des grandes ´
echelles est une approche interm´ ediaire entre les deux
pr´ ec´ edentes qui consiste `
a s´ eparer les grandes structures qui sont simul´ ees directement des petites ´
echelles, dites ´
echelles de sous-maille qui sont mod´ elis´ ees.
Elle a l’avantage de repr´ esenter les grandes structures instationnaires avec des
ressources informatiques limit´ ees.
9.3 La mod´ elisation statistique
9.3.1 La d´ ecomposition de Reynolds, O. Reynolds, 1878
Consid´ erons une quantit´ e Φ(x,t), d´ ecompos´ ee en une moyenne Φ et une fluctuation
Φ � .
Φ = Φ + Φ
�
o` u Φ est une moyenne d’ensemble effectu´ ee sur un grand nombre de reproductions
et d´ efinie par
Φ =
−∞
+∞
Φ P(Φ) dΦ
et P est une densit´ e de probabilit´ e.
La moyenne d’ensemble r´ ealis´ ee sur un grand nombre d’exp´ eriences diff´ erentes
est remplac´ ee par une moyenne temporelle effectu´ ee sur une seule exp´ erience men´ ee
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9.2 Les concepts de base et les diff´ erentes approches
La turbulence peut ˆ
etre appr´ ehend´ ee de multiples mani` eres, descriptive comme
dans le chapitre pr´ ec´ edent ou de mani` ere plus quantitative `
a partir de mod` eles ou de
simulations ou les deux. L’objectif est bien sˆ ur de pouvoir repr´ esenter la turbulence
ou au moins ses effets. Plusieurs approches sont ainsi disponibles :
• La mod´ elisation statistique (RANS, Reynolds Averaged Navier-Stokes equations): les champs de vitesse, pression sont d´ ecompos´ es en valeurs moyennes et
fluctuation puis les concepts classiques en statistique conduisent `
a consid´ erer
des moyennes d’ensembles. Les corr´ elations d’ordre deux ou sup´ erieures sont
ensuite identifi´ ees par la phase de fermeture et un syst` eme d’´ equations sur les
quantit´ es moyenn´ ees est alors construit.
• La Simulation Num´ erique Directe (DNS, Direct Numerical Simulation) :
cette approche est bas´ ee sur la repr´ esentativit´ e de l’´ equation de Navier-Stokes
qui contient l’essentiel de la physique des ph´ enom` enes observ´ es. La r´ esolution
num´ erique avec des ´
echelles spatiales et temporelles adapt´ ees permet d’acc´ eder
`
a toutes les informations locales pour pouvoir r´ ealiser des moyennes.
• La Simulation des Grandes Echelles (LES, Large Eddy Simulation) : La
simulation des grandes ´
echelles est une approche interm´ ediaire entre les deux
pr´ ec´ edentes qui consiste `
a s´ eparer les grandes structures qui sont simul´ ees directement des petites ´
echelles, dites ´
echelles de sous-maille qui sont mod´ elis´ ees.
Elle a l’avantage de repr´ esenter les grandes structures instationnaires avec des
ressources informatiques limit´ ees.
9.3 La mod´ elisation statistique
9.3.1 La d´ ecomposition de Reynolds, O. Reynolds, 1878
Consid´ erons une quantit´ e Φ(x,t), d´ ecompos´ ee en une moyenne Φ et une fluctuation
Φ � .
Φ = Φ + Φ
�
o` u Φ est une moyenne d’ensemble effectu´ ee sur un grand nombre de reproductions
et d´ efinie par
Φ =
−∞
+∞
Φ P(Φ) dΦ
et P est une densit´ e de probabilit´ e.
La moyenne d’ensemble r´ ealis´ ee sur un grand nombre d’exp´ eriences diff´ erentes
est remplac´ ee par une moyenne temporelle effectu´ ee sur une seule exp´ erience men´ ee