188
9 Turbulence
tions et d’´ energie entre ces tourbillons. En effet, nous avons not´ e pr´ ec´ edemment que
la non-lin´ earit´ e des ´
equations entraˆ ınait de fortes interactions entre les diff´ erentes
structures, mˆ eme si elles ont une taille totalement diff´ erente. En fait, `
a la diff´ erence
d’un mouvement mol´ eculaire o` u les chocs sont ´
elastiques et n’ont donc pas besoin d’´ energie pour se reproduire, les agitations turbulentes ne peuvent subsister
que par un apport d’´ energie. Celui-ci provient du mouvement moyen (par exemple, un cisaillement), qui va transf´ erer peu `
a peu son ´
energie vers le mouvement
fluctuant, la dissipation de cette ´
energie ne pouvant s’effectuer que par les forces
visqueuses au niveau des structures les plus fines : c’est le m´ ecanisme de cascade
´
energ´ etique. Cette cascade s’effectue par l’interm´ ediaire de l’´ etirement ou de la
compression (l’´ etirement est le ph´ enom` ene statistiquement le plus courant) de filets
tourbillonnaires (vortex stretching) (Fig. 9.3). Consid´ erons un tube tourbillonnaire
de longueur L, de masse volumique ρ, de rayon R et de vitesse angulaire ω.
Fig. 9.3 Tourbillon ´
el´ ementaire isol´ e dans un ´
ecoulement turbulent pour le calcul de la transformation de celui-ci par ´
etirement
On peut ´
evaluer l’ordre de grandeur de certaines quantit´ es correspondant `
a ce
tourbillon ´
el´ ementaire. Ainsi, sa masse est proportionnelle `
a ρLR 2 . Son ´
energie
cin´ etique, quant `
a elle, est proportionnelle `
a MV 2 /2, soit `
a (ρLR 2 )R 2 ω 2 . Son moment angulaire ´
etant ´
egal `
a MV R est alors proportionnel `
a (ρLR 2 )R 2 ω. Supposons
que l’on se situe `
a un nombre d’onde pas trop grand, c’est `
a dire `
a une taille L
de tourbillon suffisamment grande pour pouvoir n´ egliger les effets de la viscosit´ e
mol´ eculaire. Le moment angulaire de ce tourbillon est alors conserv´ e. De plus, la
masse ´
etant conserv´ ee, on en d´ eduit que les quantit´ es ρLR 2 et R 2 ω 2 sont conserv´ ees.
L’´ energie cin´ etique ´
etant proportionnelle `
a (ρLR 2 )R 2 ωω, on en d´ eduit qu’elle varie
comme ω, et donc comme R −2 et comme L. Ainsi, lorsqu’un tourbillon est ´
etir´ e, sa
longueur L augmente, sa vitesse angulaire ω augmente et donc son ´
energie cin´ etique
augmente, mais sa section diminue. De mˆ eme, lorsqu’un tourbillon est compress´ e,
son ´
energie cin´ etique diminue et sa section augmente.
En fait, ce m´ ecanisme prend naissance dans l’extraction d’´ energie du mouvement moyen qui, par cet interm´ ediaire, va d´ efinir les orientations et l’intensit´ e du
champ turbulent. Ainsi, un cisaillement pur par exemple, a tendance `
a orienter les
tourbillons et `
a intensifier les mouvements suivant l’axe d’´ etirement inclin´ e `
a 45 ◦
9 Turbulence
tions et d’´ energie entre ces tourbillons. En effet, nous avons not´ e pr´ ec´ edemment que
la non-lin´ earit´ e des ´
equations entraˆ ınait de fortes interactions entre les diff´ erentes
structures, mˆ eme si elles ont une taille totalement diff´ erente. En fait, `
a la diff´ erence
d’un mouvement mol´ eculaire o` u les chocs sont ´
elastiques et n’ont donc pas besoin d’´ energie pour se reproduire, les agitations turbulentes ne peuvent subsister
que par un apport d’´ energie. Celui-ci provient du mouvement moyen (par exemple, un cisaillement), qui va transf´ erer peu `
a peu son ´
energie vers le mouvement
fluctuant, la dissipation de cette ´
energie ne pouvant s’effectuer que par les forces
visqueuses au niveau des structures les plus fines : c’est le m´ ecanisme de cascade
´
energ´ etique. Cette cascade s’effectue par l’interm´ ediaire de l’´ etirement ou de la
compression (l’´ etirement est le ph´ enom` ene statistiquement le plus courant) de filets
tourbillonnaires (vortex stretching) (Fig. 9.3). Consid´ erons un tube tourbillonnaire
de longueur L, de masse volumique ρ, de rayon R et de vitesse angulaire ω.
Fig. 9.3 Tourbillon ´
el´ ementaire isol´ e dans un ´
ecoulement turbulent pour le calcul de la transformation de celui-ci par ´
etirement
On peut ´
evaluer l’ordre de grandeur de certaines quantit´ es correspondant `
a ce
tourbillon ´
el´ ementaire. Ainsi, sa masse est proportionnelle `
a ρLR 2 . Son ´
energie
cin´ etique, quant `
a elle, est proportionnelle `
a MV 2 /2, soit `
a (ρLR 2 )R 2 ω 2 . Son moment angulaire ´
etant ´
egal `
a MV R est alors proportionnel `
a (ρLR 2 )R 2 ω. Supposons
que l’on se situe `
a un nombre d’onde pas trop grand, c’est `
a dire `
a une taille L
de tourbillon suffisamment grande pour pouvoir n´ egliger les effets de la viscosit´ e
mol´ eculaire. Le moment angulaire de ce tourbillon est alors conserv´ e. De plus, la
masse ´
etant conserv´ ee, on en d´ eduit que les quantit´ es ρLR 2 et R 2 ω 2 sont conserv´ ees.
L’´ energie cin´ etique ´
etant proportionnelle `
a (ρLR 2 )R 2 ωω, on en d´ eduit qu’elle varie
comme ω, et donc comme R −2 et comme L. Ainsi, lorsqu’un tourbillon est ´
etir´ e, sa
longueur L augmente, sa vitesse angulaire ω augmente et donc son ´
energie cin´ etique
augmente, mais sa section diminue. De mˆ eme, lorsqu’un tourbillon est compress´ e,
son ´
energie cin´ etique diminue et sa section augmente.
En fait, ce m´ ecanisme prend naissance dans l’extraction d’´ energie du mouvement moyen qui, par cet interm´ ediaire, va d´ efinir les orientations et l’intensit´ e du
champ turbulent. Ainsi, un cisaillement pur par exemple, a tendance `
a orienter les
tourbillons et `
a intensifier les mouvements suivant l’axe d’´ etirement inclin´ e `
a 45 ◦