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9 Turbulence
9.1.4 Une forte diffusivit´ e apparente
Un ´
ecoulement turbulent poss` ede une diffusivit´ e apparente tr` es sup´ erieure `
a la diffusivit´ e mol´ eculaire. Cette conclusion est en fait due aux contributions de diff´ erents
effets combin´ es. Un ´
ecoulement turbulent est caract´ eris´ e par de fortes variations
spatiales et temporelles de la vitesse. Des portions de fluide tr` es proches peuvent
avoir des directions et des modules de la vitesse diff´ erents; ces portions sont alors
advect´ ees diff´ eremment et mises en contact de temp´ erature ou de concentration
diff´ erentes. Mais le processus de diffusion mol´ eculaire reste le seul `
a transf´ erer
in fine l’´ energie ou la masse. La g´ en´ eration de filaments entrelac´ es acc´ el` ere consid´ erablement ce processus qui est assimil´ e `
a de la diffusion. De mani` ere g´ en´ erale
en physique ce que l’on a du mal `
a analyser ou `
a mod´ eliser est assimil´ e `
a de la
diffusion. La turbulence en fait aussi une large exploitation.
9.1.5 La coexistence d’´ echelles spatiales tr` es diff´ erentes
Un ´
ecoulement turbulent est le lieu d’un enchevˆ etrement de structures tourbillonnaires dont les vecteurs rotationnels sont orient´ es dans toutes les directions
de l’espace et sont fortement instationnaires. De plus, `
a plus grands nombres de
Reynolds, caract´ erisant le rapport entre les forces de convection et de diffusion
mol´ eculaire, l’´ ecoulement pr´ esente un spectre ´
etendu de tailles de tourbillons et
un spectre correspondant en fr´ equence. Les plus gros tourbillons correspondant aux
basses fr´ equences du spectre d’´ energie, sont principalement influenc´ es par les conditions aux limites du probl` eme. Leur taille est en g´ en´ eral d’ordre de grandeur du
domaine dans lequel ´
evolue le fluide. Les petits tourbillons sont quant `
a eux, associ´ es aux hautes fr´ equences du spectre. Leur taille est d´ etermin´ ee par les forces
visqueuses et ce sont eux qui dissipent l’´ energie turbulente. L’´ ecart de dimension
entre les grosses et petites structures est proportionnel au nombre de Reynolds
global de l’´ ecoulement. En fait, plus ce nombre augmente, plus le spectre d’´ energie
s’allonge, plus on rencontre de fines structures, ce qui explique les difficult´ es rencontr´ ees au fur et `
a mesure que le nombre de Reynolds augmente (Fig. 9.2).
Concr` etement, il est possible d’estimer les ´
echelles de grandeur caract´ eristiques
des diff´ erentes structures existant dans un ´
ecoulement turbulent. Cette estimation a
une grande importance dans la compr´ ehension des ph´ enom` enes en pr´ esence. Ainsi,
elle est tr` es utilis´ ee, pour les mod´ elisations statistiques, dans les th´ eories de fermeture en un point. Ces ´
echelles sont bas´ ees principalement sur l’´ energie cin´ etique de
la turbulence k = 0.5u
i u
i et le taux de dissipation ε = ν
∂ u
i
∂ x j
∂ u
i
∂ x j
( u
i ´
etant la ni` eme
composante du vecteur vitesse fluctuante u ).
Ainsi, on fixe l’´ echelle caract´ eristique de vitesse `
a u c =
(2/3)k. L’´ echelle
int´ egrale caract´ eristique de longueur macroscopique correspondant `
a la taille caract´ eristique des gros tourbillons porteurs d’´ energie turbulente est d’ordre de grandeur
de l’´ echelle de longueur du domaine d’´ etude (par exemple diam` etre du cylindre
9 Turbulence
9.1.4 Une forte diffusivit´ e apparente
Un ´
ecoulement turbulent poss` ede une diffusivit´ e apparente tr` es sup´ erieure `
a la diffusivit´ e mol´ eculaire. Cette conclusion est en fait due aux contributions de diff´ erents
effets combin´ es. Un ´
ecoulement turbulent est caract´ eris´ e par de fortes variations
spatiales et temporelles de la vitesse. Des portions de fluide tr` es proches peuvent
avoir des directions et des modules de la vitesse diff´ erents; ces portions sont alors
advect´ ees diff´ eremment et mises en contact de temp´ erature ou de concentration
diff´ erentes. Mais le processus de diffusion mol´ eculaire reste le seul `
a transf´ erer
in fine l’´ energie ou la masse. La g´ en´ eration de filaments entrelac´ es acc´ el` ere consid´ erablement ce processus qui est assimil´ e `
a de la diffusion. De mani` ere g´ en´ erale
en physique ce que l’on a du mal `
a analyser ou `
a mod´ eliser est assimil´ e `
a de la
diffusion. La turbulence en fait aussi une large exploitation.
9.1.5 La coexistence d’´ echelles spatiales tr` es diff´ erentes
Un ´
ecoulement turbulent est le lieu d’un enchevˆ etrement de structures tourbillonnaires dont les vecteurs rotationnels sont orient´ es dans toutes les directions
de l’espace et sont fortement instationnaires. De plus, `
a plus grands nombres de
Reynolds, caract´ erisant le rapport entre les forces de convection et de diffusion
mol´ eculaire, l’´ ecoulement pr´ esente un spectre ´
etendu de tailles de tourbillons et
un spectre correspondant en fr´ equence. Les plus gros tourbillons correspondant aux
basses fr´ equences du spectre d’´ energie, sont principalement influenc´ es par les conditions aux limites du probl` eme. Leur taille est en g´ en´ eral d’ordre de grandeur du
domaine dans lequel ´
evolue le fluide. Les petits tourbillons sont quant `
a eux, associ´ es aux hautes fr´ equences du spectre. Leur taille est d´ etermin´ ee par les forces
visqueuses et ce sont eux qui dissipent l’´ energie turbulente. L’´ ecart de dimension
entre les grosses et petites structures est proportionnel au nombre de Reynolds
global de l’´ ecoulement. En fait, plus ce nombre augmente, plus le spectre d’´ energie
s’allonge, plus on rencontre de fines structures, ce qui explique les difficult´ es rencontr´ ees au fur et `
a mesure que le nombre de Reynolds augmente (Fig. 9.2).
Concr` etement, il est possible d’estimer les ´
echelles de grandeur caract´ eristiques
des diff´ erentes structures existant dans un ´
ecoulement turbulent. Cette estimation a
une grande importance dans la compr´ ehension des ph´ enom` enes en pr´ esence. Ainsi,
elle est tr` es utilis´ ee, pour les mod´ elisations statistiques, dans les th´ eories de fermeture en un point. Ces ´
echelles sont bas´ ees principalement sur l’´ energie cin´ etique de
la turbulence k = 0.5u
i u
i et le taux de dissipation ε = ν
∂ u
i
∂ x j
∂ u
i
∂ x j
( u
i ´
etant la ni` eme
composante du vecteur vitesse fluctuante u ).
Ainsi, on fixe l’´ echelle caract´ eristique de vitesse `
a u c =
(2/3)k. L’´ echelle
int´ egrale caract´ eristique de longueur macroscopique correspondant `
a la taille caract´ eristique des gros tourbillons porteurs d’´ energie turbulente est d’ordre de grandeur
de l’´ echelle de longueur du domaine d’´ etude (par exemple diam` etre du cylindre