9.1 Caract` eres g´ en´ eraux de la turbulence
185
9.1.2 Une extrˆ eme sensibilit´ e aux conditions initiales
Un ´
ecoulement turbulent est extrˆ emement sensible aux conditions initiales. En effet les fortes interactions liant les fines structures `
a l’´ ecoulement moyen expliquent
qu’un ´
ecart infime sur les conditions initiales peuvent conduire `
a terme `
a des ´
etats
totalement diff´ erents. C’est le ph´ enom` ene d’impr´ edictibilit´ e li´ e `
a la mauvaise connaissance et ??a mauvaise maˆ ıtrise de ces conditions.
C’est la principale difficult´ e de pr´ evision du temps `
a plus de quelques jours. En
fait la pr´ evision d’un quelconque ´
etat turbulent ne serait pas limit´ ee `
a la difficult´ e
de r´ esoudre toutes les ´
echelles en mˆ eme temps mais ´
egalement de poss´ eder une
connaissance exacte de ses conditions initiales.
9.1.3 Une perte de m´ emoire
Une cons´ equence directe de cette extrˆ eme sensibilit´ e aux conditions initiales amplifi´ ee par les fortes interactions non-lin´ eaires entre les structures, est que l’´ ecoulement, apr` es avoir atteint un certain r´ egime, oublie les d´ etails qui l’on amen´ e `
a cet
´
etat. Cela correspond `
a une perte de m´ emoire ce qui est est d’ailleurs plutˆ ot favorable dans la mesure `
ou la m´ econnaissance des conditions initiales n’empˆ eche pas de
calculer les structures essentielles de l’´ ecoulement et de repr´ esenter une physique
r´ ealiste.
Un jeu permet de bien pr´ eciser cette notion : une bille d’acier descend par gravit´ e
dans un r´ eseau de petits picots cylindriques. Elle saute d’un picot `
a l’autre pour arriver en bas du syst` eme `
a une abscisse quˆ ıaraˆ ıt al´ eatoire. L’impact final est rarement
le mˆ eme alors que la position initiale diff` ere tr` es peu. La r´ ep´ etition de l’op´ eration
montre que la r´ epartition est quasi-gaussienne.
De mˆ eme un calcul num´ erique simulant l’´ ecoulement autour d’un cylindre pour
un nombre de Reynolds de 60 donne des r´ esultats diff´ erents en fonction des conditions initiales. Si l’´ ecoulement amont est exempt de perturbation alors celui-ci reste
sym´ etrique et stationnaire tout au long du calcul avec une longueur de recirculation qui croit en fonction du nombre de Reynolds. En injectant des perturbations
de l’ordre de 10 −10 en bruit blanc, l’´ ecoulement devient rapidement instationnaire
p´ eriodique et donne l’all´ ee de B´ enard-Karman pr´ evue.
Bien ´
evidemment l’´ ecoulement sym´ etrique n’est observable qu’avec un code de
calcul ne g´ en´ erant pas lui-mˆ eme de perturbations sup´ erieures aux erreurs d’arrondis
de la machine. Il est `
a noter que les r´ esultats peuvent aussi d´ ependre `
a 10 −12 −10 −14
pr` es de la machine utilis´ ee.
185
9.1.2 Une extrˆ eme sensibilit´ e aux conditions initiales
Un ´
ecoulement turbulent est extrˆ emement sensible aux conditions initiales. En effet les fortes interactions liant les fines structures `
a l’´ ecoulement moyen expliquent
qu’un ´
ecart infime sur les conditions initiales peuvent conduire `
a terme `
a des ´
etats
totalement diff´ erents. C’est le ph´ enom` ene d’impr´ edictibilit´ e li´ e `
a la mauvaise connaissance et ??a mauvaise maˆ ıtrise de ces conditions.
C’est la principale difficult´ e de pr´ evision du temps `
a plus de quelques jours. En
fait la pr´ evision d’un quelconque ´
etat turbulent ne serait pas limit´ ee `
a la difficult´ e
de r´ esoudre toutes les ´
echelles en mˆ eme temps mais ´
egalement de poss´ eder une
connaissance exacte de ses conditions initiales.
9.1.3 Une perte de m´ emoire
Une cons´ equence directe de cette extrˆ eme sensibilit´ e aux conditions initiales amplifi´ ee par les fortes interactions non-lin´ eaires entre les structures, est que l’´ ecoulement, apr` es avoir atteint un certain r´ egime, oublie les d´ etails qui l’on amen´ e `
a cet
´
etat. Cela correspond `
a une perte de m´ emoire ce qui est est d’ailleurs plutˆ ot favorable dans la mesure `
ou la m´ econnaissance des conditions initiales n’empˆ eche pas de
calculer les structures essentielles de l’´ ecoulement et de repr´ esenter une physique
r´ ealiste.
Un jeu permet de bien pr´ eciser cette notion : une bille d’acier descend par gravit´ e
dans un r´ eseau de petits picots cylindriques. Elle saute d’un picot `
a l’autre pour arriver en bas du syst` eme `
a une abscisse quˆ ıaraˆ ıt al´ eatoire. L’impact final est rarement
le mˆ eme alors que la position initiale diff` ere tr` es peu. La r´ ep´ etition de l’op´ eration
montre que la r´ epartition est quasi-gaussienne.
De mˆ eme un calcul num´ erique simulant l’´ ecoulement autour d’un cylindre pour
un nombre de Reynolds de 60 donne des r´ esultats diff´ erents en fonction des conditions initiales. Si l’´ ecoulement amont est exempt de perturbation alors celui-ci reste
sym´ etrique et stationnaire tout au long du calcul avec une longueur de recirculation qui croit en fonction du nombre de Reynolds. En injectant des perturbations
de l’ordre de 10 −10 en bruit blanc, l’´ ecoulement devient rapidement instationnaire
p´ eriodique et donne l’all´ ee de B´ enard-Karman pr´ evue.
Bien ´
evidemment l’´ ecoulement sym´ etrique n’est observable qu’avec un code de
calcul ne g´ en´ erant pas lui-mˆ eme de perturbations sup´ erieures aux erreurs d’arrondis
de la machine. Il est `
a noter que les r´ esultats peuvent aussi d´ ependre `
a 10 −12 −10 −14
pr` es de la machine utilis´ ee.