8.5 Stabilit´ e des ´
ecoulements presque parall` eles
179
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
˜
ψ(η = 1) = λ e a + μe b
˜
ψ � (η = 1) = aλ e a + bμe b
˜
ψ �� (η = 1) = a 2 λ e a + b 2 μe b
˜
ψ ��� (η = 1) = a 3 λ e a + b 3 μe b
La r´ esolution de cette relation donne :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
˜
ψ (η=1) =
1
(ab) 2
�
(a 2 + ab + b 2 ) ˜
ψ ��
(η=1) − (a + b) ˜
ψ ���
(η=1)
�
˜
ψ �
(η=1) =
1
ab
�
(a + b) ˜
ψ ��
(η=1) − ˜
ψ ���
(η=1)
�
avec a et b connus .
D’autre part, nous avons :
˜
ψ
��
(η=1) =
1
3
N
∑
k=0
k
2
(k
2 − 1)a k
˜
ψ
���
(η=1) =
1
15
N
∑
k=0
k
2
(k
2 − 1)(k
2 − 4)a k
Dans le mˆ eme esprit que dans le paragraphe pr´ ec´ edent, nous ´
ecrivons :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
˜
ψ ��
(η=1) = 4a 2 + 24a 3 + S ��
˜
ψ ���
(η=1) = 24a 3 + S ���
o` u
S �� =
1
3
N
∑
k=4
k
2
(k
2 − 1)a k
S ��� =
1
15
N
∑
k=4
k
2
(k
2 − 1)(k
2 − 4)a k
Posons de plus :
ρ
��
=
a 2 + ab + b 2
(ab) 2
γ
��
= −
a + b
(ab) 2
ρ
���
=
a + b
ab
γ
���
= −
1
ab