178
8 Stabilit´ e, chaos
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ψ ���� (z � ) − 2α 2 ψ �� (z � ) + α 4 ψ(z � ) − iαRe
�
(U(z � ) − c)(ψ �� (z � ) − α 2 ψ(z � )) −U �� (z � )ψ(z � )
�
= 0
ψ(z � = 0) = ψ � (z � = 0) = 0
ψ(z � = 1) = λ e a + μe b
ψ � (z � = 1) = aλ e a + bμe b
Posons η = 2z � − 1, avec η ∈ [−1, 1]. Nous allons ramener notre probl` eme `
a
celui de Poiseuille :
� ψ(z � ) = ˜
ψ(η)
U(z � ) = ˜
U(η)
Ceci entraˆ ıne :
⎧
⎨
⎩
ψ � (z � ) = 2 ˜
ψ � (η)
ψ �� (z � ) = 2 2 ˜
ψ �� (η)
ψ ���� (z � ) = 2 4 ˜
ψ ���� (η)
En posant ˜
Re = Re/2 et ˜
α = α/2, on peut ainsi faire apparaˆ ıtre une nouvelle
forme de l’´ equation, identique `
a celle trait´ ee pr´ ec´ edemment :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
˜
ψ ���� (η) − 2 ˜
α 2 ˜
ψ �� (η) + ˜
α 4 ˜
ψ(η) − i ˜
α ˜
Re
�
( ˜
U(η) − c)( ˜
ψ �� (η) − ˜
α 2 ˜
ψ(η)) − ˜
U �� (η) ˜
ψ(η)
�
= 0
˜
ψ(η = −1) = ˜
ψ � (η = −1) = 0
˜
ψ(η = 1) = λ e a + μe b
˜
ψ � (η = 1) = aλ e a + bμe b
Traitement des conditions limites.
La d´ efinition des constantes λ et μ est donn´ ee par le raccordement des deux solutions: la solution `
a l’infini et la solution de notre syst` eme.