8.5 Stabilit´ e des ´
ecoulements presque parall` eles
177
8.5.4 La couche limite de Blasius.
La r´ esolution de l’´ equation d’Orr-Sommerfeld appliqu´ ee `
a la couche limite de Blasius doit ˆ
etre modifi´ ee. En effet le domaine est maintenant semi-infini. Ceci signifie
qu’il faut ˆ
etre capable de repr´ esenter l’att´ enuation des perturbations `
a l’infini. Pour
cela, il faut changer soit la base des fonctions d’essai, soit traiter diff´ eremment les
conditions aux limites `
a l’infini.
Nous avons analys´ e la premi` ere option en consid´ erant une famille de fonctions
compos´ ees de polynˆ omes de Chebychev et d’une transformation exponentielle. La
d´ eriv´ ee d’ordre quatre introduit dans ce cas des d´ eveloppements relativement importants sur la d´ erivation des fonctions compos´ ees et de ce fait, beaucoup plus de
produits de s´ eries. Pour cette raison nous avons choisi la seconde option, modifier
le traitement des conditions aux limites.
En dehors de la couche limite, le profil de vitesse est constant et sa d´ eriv´ ee seconde tend vers z´ ero. Donc suffisamment loin de la couche limite, ψ N est la solution
d’une ´
equation diff´ erentielle bicarr´ ee. Elle est donc la somme de quatre exponentielles complexes. Sachant que la perturbation doit s’att´ enuer `
a l’infini, la somme se
r´ eduit `
a deux exponentielles telles que :
Pour z >> δ
ψ(z) = λ e
az
+ μe
bz ...avec Reel(a) ≤ 0
Reel(b) ≤ 0
Les constantes λ et μ sont d´ etermin´ ees ensuite par des conditions de raccordement (d´ ecrites dans la suite).
Deux diff´ erences notables apparaissent alors par rapport au cas de Poiseuille :
1. Le nouveau domaine que nous consid´ erons est maintenant l’intervalle z � ∈ [0, 1]
o` u z � = 1 correspond `
a une certaine hauteur τδ au dessus de la couche limite.
τ est une constante sup´ erieure `
a 1. La longueur de r´ ef´ erence est fix´ ee `
a τδ et
Re = Re τδ .
2. Les nouvelles conditions aux limites sont appliqu´ ees sur la plaque plane en z � = 0
et au dessus de la couche limite en z � = 1 = z/τδ . En τδ nous effectuons un
raccordement de la solution `
a l’infini avec la solution. Cette technique est appel´ ee
’m´ ethode de cut-off’.
Le syst` eme `
a r´ esoudre est donc le suivant :
ecoulements presque parall` eles
177
8.5.4 La couche limite de Blasius.
La r´ esolution de l’´ equation d’Orr-Sommerfeld appliqu´ ee `
a la couche limite de Blasius doit ˆ
etre modifi´ ee. En effet le domaine est maintenant semi-infini. Ceci signifie
qu’il faut ˆ
etre capable de repr´ esenter l’att´ enuation des perturbations `
a l’infini. Pour
cela, il faut changer soit la base des fonctions d’essai, soit traiter diff´ eremment les
conditions aux limites `
a l’infini.
Nous avons analys´ e la premi` ere option en consid´ erant une famille de fonctions
compos´ ees de polynˆ omes de Chebychev et d’une transformation exponentielle. La
d´ eriv´ ee d’ordre quatre introduit dans ce cas des d´ eveloppements relativement importants sur la d´ erivation des fonctions compos´ ees et de ce fait, beaucoup plus de
produits de s´ eries. Pour cette raison nous avons choisi la seconde option, modifier
le traitement des conditions aux limites.
En dehors de la couche limite, le profil de vitesse est constant et sa d´ eriv´ ee seconde tend vers z´ ero. Donc suffisamment loin de la couche limite, ψ N est la solution
d’une ´
equation diff´ erentielle bicarr´ ee. Elle est donc la somme de quatre exponentielles complexes. Sachant que la perturbation doit s’att´ enuer `
a l’infini, la somme se
r´ eduit `
a deux exponentielles telles que :
Pour z >> δ
ψ(z) = λ e
az
+ μe
bz ...avec Reel(a) ≤ 0
Reel(b) ≤ 0
Les constantes λ et μ sont d´ etermin´ ees ensuite par des conditions de raccordement (d´ ecrites dans la suite).
Deux diff´ erences notables apparaissent alors par rapport au cas de Poiseuille :
1. Le nouveau domaine que nous consid´ erons est maintenant l’intervalle z � ∈ [0, 1]
o` u z � = 1 correspond `
a une certaine hauteur τδ au dessus de la couche limite.
τ est une constante sup´ erieure `
a 1. La longueur de r´ ef´ erence est fix´ ee `
a τδ et
Re = Re τδ .
2. Les nouvelles conditions aux limites sont appliqu´ ees sur la plaque plane en z � = 0
et au dessus de la couche limite en z � = 1 = z/τδ . En τδ nous effectuons un
raccordement de la solution `
a l’infini avec la solution. Cette technique est appel´ ee
’m´ ethode de cut-off’.
Le syst` eme `
a r´ esoudre est donc le suivant :