8.5 Stabilit´ e des ´
ecoulements presque parall` eles
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Une perturbation bidimensionnelle est superpos´ ee `
a l’´ ecoulement global. La
fonction de courant qui lui est associ´ ee peut s’´ ecrire :
ψ(x, z,t) = ψ(z)e
i.(αx−ωt)
Les conditions aux limites remplies par la fonction de courant, correspondent
`
a l’annulation des perturbations sur les parois du canal. Le champ de vitesse
parabolique remplit d’autre part les hypoth` eses de la th´ eorie lin´ eaire de la stabilit´ e
(voir partie pr´ ec´ edente). Le syst` eme `
a r´ esoudre est le suivant :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
ψ ����
N (z) − 2α 2 ψ ��
N (z) + α 4 ψ N (z) − iαRe
�
(U(z) − c)(ψ ��
N (z) − α 2 ψ N (z)) −U �� (z)ψ N (z)
�
= 0
ψ N (z = −h) = ψ �
N (z = −h) = 0
ψ N (z = +h) = ψ �
N (z = +h) = 0
La fonction ψ est d´ ecompos´ ee sur la base des polynˆ omes de Chebychev d´ efinis
sur l’intervalle [−1, 1], en une s´ erie tronqu´ ee `
a l’ordre N :
ψ N (z) =
N
∑
i=0
a i T i (z) . De mˆ eme,
U N (z) =
N
∑
i=0
b i T i (z)
Soit L (ψ;U, Re, α, c), l’op´ erateur d’Orr-Sommerfeld :
L (ψ N ;U N , Re, α, c)(z) = ψ
����
N (z) − 2α
2
ψ
��
N (z) + α
4
ψ N (z)
− iαRe
�
(U N (z) − c)(ψ
��
N (z) − α
2
ψ N (z)) −U
��
N (z)ψ N (z)
�
Passage dans l’espace spectral.
Le traitement de l’´ equation impose deux contraintes :
1. Les fonctions U(z) et U”(z) doivent ˆ
etre exprim´ ees dans l’espace spectral. Les
polynˆ omes de Chebychev, compte tenu de leur d´ efinition, s’´ ecrivent sur la base
des fonctions de Fourier. Ceci rend possible l’utilisation des transformations de
Fourier rapides (F.F.T) pour les passages de l’espace physique vers l’espace spectral, et inversement. Nous ne rentrons pas dans le d´ etail de ces techniques, car
elles ont fait l’objet de multiples travaux et d´ eveloppements.
Dans le cas pr´ esent cette transformation n’est pas utile. En effet U(z) et U”(z)
sont des polynˆ omes d’ordre inf´ erieur ou ´
egal `
a 2. Leur d´ ecomposition se fait
donc d’apr` es T 0 , T 1 ,T 2 , et trivialement nous obtenons :