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8 Stabilit´ e, chaos
L’erreur introduite par l’hypoth` ese d’´ ecoulement parall` ele diminue lorsque l’´ ecoulement ´
etudi´ e est solution des ´
equations de Navier-Stokes, et lorsque l’analyse de la
stabilit´ e est effectu´ ee localement, `
a chaque abscisse x. Le profil de vitesse peut alors
´
evoluer faiblement dans la direction x, mais localement il reste ind´ ependant des profils voisins. C’est l’hypoth` ese d’´ ecoulement localement parall` ele. Cette hypoth` ese
sera utilis´ ee dans le chapitre suivant.
8.5.3 L’´ ecoulement plan de Poiseuille.
La r´ esolution de l’´ equation d’Orr-Sommerfeld appliqu´ ee `
a l’´ ecoulement de Poiseuille,
n’est qu’une ´
etape dans la mise au point de la m´ ethode, avant son adaptation au cas
de la couche limite. En effet, cela permet de travailler directement dans le domaine
born´ e sur lequel sont d´ efinis les polynˆ omes de Chebychev, et de valider dans un
premier temps l’´ ecriture du syst` eme d’´ equation. Ceci explique par avance que certains choix n’aient pas ´
et´ e faits pour simplifier ou optimiser la r´ esolution du cas
’Poiseuille’. Suivant la m´ ethode choisie pour prendre en compte un domaine semiinfini (cas des couches limites), les modifications peuvent ˆ
etre cons´ equentes, entraˆ ıner de nouveaux choix tactiques et occasionner la r´ e´ ecriture du syst` eme. Nous
verrons que la m´ ethode que nous avons choisie nous permet de contourner cet inconv´ enient. Cette m´ ethode reprend la technique du ”cut-off”. Elle sera d´ ecrite dans
la partie suivante.
Consid´ erons l’´ ecoulement plan d’un fluide newtonien entre deux plaques planes
lisses, distantes d’une hauteur 2h (h=1) (Fig. 8.6). Lorsque l’´ ecoulement est ´
etabli,
il est sym´ etrique par rapport `
a l’axe central du canal et de forme parabolique. Le
champ de vitesse est U = (U(z), 0, 0) avec :
U(z) = 1 − z
2
pour
z ∈ [−1, 1]
L’adimensionnement du syst` eme est donn´ e par la demie hauteur du canal, h=1 ,
et par la vitesse au centre du canal, de sorte que Re = 1/ν.
+h
z
O
y
x
-h
Fig. 8.6 Ecoulement entre deux plans de type Poiseuille qui d´ efinit la solution de base non perturb´ ee de la th´ eorie lin´ eaire de la stabilit´ e
8 Stabilit´ e, chaos
L’erreur introduite par l’hypoth` ese d’´ ecoulement parall` ele diminue lorsque l’´ ecoulement ´
etudi´ e est solution des ´
equations de Navier-Stokes, et lorsque l’analyse de la
stabilit´ e est effectu´ ee localement, `
a chaque abscisse x. Le profil de vitesse peut alors
´
evoluer faiblement dans la direction x, mais localement il reste ind´ ependant des profils voisins. C’est l’hypoth` ese d’´ ecoulement localement parall` ele. Cette hypoth` ese
sera utilis´ ee dans le chapitre suivant.
8.5.3 L’´ ecoulement plan de Poiseuille.
La r´ esolution de l’´ equation d’Orr-Sommerfeld appliqu´ ee `
a l’´ ecoulement de Poiseuille,
n’est qu’une ´
etape dans la mise au point de la m´ ethode, avant son adaptation au cas
de la couche limite. En effet, cela permet de travailler directement dans le domaine
born´ e sur lequel sont d´ efinis les polynˆ omes de Chebychev, et de valider dans un
premier temps l’´ ecriture du syst` eme d’´ equation. Ceci explique par avance que certains choix n’aient pas ´
et´ e faits pour simplifier ou optimiser la r´ esolution du cas
’Poiseuille’. Suivant la m´ ethode choisie pour prendre en compte un domaine semiinfini (cas des couches limites), les modifications peuvent ˆ
etre cons´ equentes, entraˆ ıner de nouveaux choix tactiques et occasionner la r´ e´ ecriture du syst` eme. Nous
verrons que la m´ ethode que nous avons choisie nous permet de contourner cet inconv´ enient. Cette m´ ethode reprend la technique du ”cut-off”. Elle sera d´ ecrite dans
la partie suivante.
Consid´ erons l’´ ecoulement plan d’un fluide newtonien entre deux plaques planes
lisses, distantes d’une hauteur 2h (h=1) (Fig. 8.6). Lorsque l’´ ecoulement est ´
etabli,
il est sym´ etrique par rapport `
a l’axe central du canal et de forme parabolique. Le
champ de vitesse est U = (U(z), 0, 0) avec :
U(z) = 1 − z
2
pour
z ∈ [−1, 1]
L’adimensionnement du syst` eme est donn´ e par la demie hauteur du canal, h=1 ,
et par la vitesse au centre du canal, de sorte que Re = 1/ν.
+h
z
O
y
x
-h
Fig. 8.6 Ecoulement entre deux plans de type Poiseuille qui d´ efinit la solution de base non perturb´ ee de la th´ eorie lin´ eaire de la stabilit´ e