8.5 Stabilit´ e des ´
ecoulements presque parall` eles
173
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
�
D 2 − α 2
� 2
ψ − iRe θ
�
(αU − ω)
�
D 2 − α 2
�
ψ − D 2 αU.ψ
�
= 0
ψ(z � = 0) = Dψ(z � = 0) = 0
ψ(z � = ∞) = Dψ(z � = ∞) = 0
Re θ et α sont fix´ es et la recherche des valeurs propres s’effectue sur la variable
complexe ω.
En revanche, en th´ eorie spatiale le traitement de l’´ equation est moins ais´ e. Deux
raisons `
a cela :
D’une part, les transformations pr´ ec´ edentes (Squire, Stuart) ne sont plus valables.
Il faut donc r´ esoudre le syst` eme par rapport aux deux param` etres γ et β , alors que
le couple (ω et Re L ) est fix´ e. Dans la pratique, la valeur propre γ est recherch´ ee
au d´ etriment de β . Celle-ci est souvent r´ eduite `
a β r , les calculs montrant qu’il est
raisonnable de poser β i = 0.
D` es lors, la recherche de γ n´ ecessite la mise en place de nouvelles proc´ edures de
recherche des valeurs et vecteurs propres, du fait de son apparition non lin´ eaire dans
le syst` eme.
Nous allons donc traiter le probl` eme de la stabilit´ e au travers du syst` eme, dans
le contexte de la th´ eorie temporelle. Ceci n’est qu’une hypoth` ese de d´ epart pour la
section suivante, o` u il s’agit de r´ esoudre le probl` eme aux valeurs propres. En effet, la mˆ eme m´ ethode de r´ esolution pourra ˆ
etre indiff´ eremment utilis´ ee, moyennant
quelques am´ enagements pour la th´ eorie temporelle et spatiale, en bidimensionnel
ou tridimensionnel.
8.5.2.1 Remarques : les effets non-parall` eles
L’origine de l’´ equation d’Orr-Sommerfeld repose sur l’hypoth` ese d’un ´
ecoulement
de base parall` ele. Cette approximation introduit une erreur dans les ´
equations de
Navier-Stokes par rapport au champ initial. On introduit donc une erreur dans
le syst` eme avant mˆ eme la petite perturbation. Une question se pose : l’ordre de
grandeur de l’erreur est-il plus petit que celui de la perturbation ? Si ce n’est pas le
cas, rien ne permet d’assurer la validit´ e des r´ esultats de stabilit´ e.
La correction apport´ ee par la consid´ eration d’un ´
ecoulement non parall` ele peut
ˆ
etre ´
evalu´ ee par la m´ ethode des ´
echelles multiples. Celle-ci a permis de montrer
une avanc?ielle du nombre de Reynolds critique, laissant apparaˆ ıtre une bonne
ad´ equation avec les r´ esultats exp´ erimentaux.
ecoulements presque parall` eles
173
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
�
D 2 − α 2
� 2
ψ − iRe θ
�
(αU − ω)
�
D 2 − α 2
�
ψ − D 2 αU.ψ
�
= 0
ψ(z � = 0) = Dψ(z � = 0) = 0
ψ(z � = ∞) = Dψ(z � = ∞) = 0
Re θ et α sont fix´ es et la recherche des valeurs propres s’effectue sur la variable
complexe ω.
En revanche, en th´ eorie spatiale le traitement de l’´ equation est moins ais´ e. Deux
raisons `
a cela :
D’une part, les transformations pr´ ec´ edentes (Squire, Stuart) ne sont plus valables.
Il faut donc r´ esoudre le syst` eme par rapport aux deux param` etres γ et β , alors que
le couple (ω et Re L ) est fix´ e. Dans la pratique, la valeur propre γ est recherch´ ee
au d´ etriment de β . Celle-ci est souvent r´ eduite `
a β r , les calculs montrant qu’il est
raisonnable de poser β i = 0.
D` es lors, la recherche de γ n´ ecessite la mise en place de nouvelles proc´ edures de
recherche des valeurs et vecteurs propres, du fait de son apparition non lin´ eaire dans
le syst` eme.
Nous allons donc traiter le probl` eme de la stabilit´ e au travers du syst` eme, dans
le contexte de la th´ eorie temporelle. Ceci n’est qu’une hypoth` ese de d´ epart pour la
section suivante, o` u il s’agit de r´ esoudre le probl` eme aux valeurs propres. En effet, la mˆ eme m´ ethode de r´ esolution pourra ˆ
etre indiff´ eremment utilis´ ee, moyennant
quelques am´ enagements pour la th´ eorie temporelle et spatiale, en bidimensionnel
ou tridimensionnel.
8.5.2.1 Remarques : les effets non-parall` eles
L’origine de l’´ equation d’Orr-Sommerfeld repose sur l’hypoth` ese d’un ´
ecoulement
de base parall` ele. Cette approximation introduit une erreur dans les ´
equations de
Navier-Stokes par rapport au champ initial. On introduit donc une erreur dans
le syst` eme avant mˆ eme la petite perturbation. Une question se pose : l’ordre de
grandeur de l’erreur est-il plus petit que celui de la perturbation ? Si ce n’est pas le
cas, rien ne permet d’assurer la validit´ e des r´ esultats de stabilit´ e.
La correction apport´ ee par la consid´ eration d’un ´
ecoulement non parall` ele peut
ˆ
etre ´
evalu´ ee par la m´ ethode des ´
echelles multiples. Celle-ci a permis de montrer
une avanc?ielle du nombre de Reynolds critique, laissant apparaˆ ıtre une bonne
ad´ equation avec les r´ esultats exp´ erimentaux.