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8 Stabilit´ e, chaos
z
y
x
η
z
ξ
θ
Fig. 8.5 Rep´ erage d’un front d’onde par rapport `
a (x, y), ou au rep` ere transform´ e (ξ , η).
Un changement de variable permet de traiter alors l’´ equation :
D
2 − α
2
2
w
� − iRe
θ
(αU − ω)
D
2 − α
2
w
� − D
2
αU.w
�
= 0
Le scalaire θ repr´ esente l’inclinaison du vecteur d’onde k par rapport `
a la direction de l’´ ecoulement moyen. On pose alors Re θ = Re L .cosθ et α =
γ
cosθ .
Squire montre de cette fac ¸on que le nombre de Reynolds critique reste conditionn´ e par les caract´ eristiques d’une onde bidimensionnelle (θ = 0).
Th´ eor` eme de Stuart :
On consid` ere cette fois le d´ eveloppement d’une onde oblique au sein d’un ´
ecoulement tridimensionnel (W � = 0). Par un changement de variable analogue, Stuart
montre par la th´ eorie temporelle comment traiter le probl` eme de stabilit´ e, l` a encore
dans le plan du vecteur d’onde. La transformation dans ce plan permet de retrouver
une ´
equation bidimensionnelle ´
equivalente.
Cette ´
equation correspond, `
a un probl` eme de dispersion. La r´ esolution de l’´ equation n’est pas triviale. Elle consiste `
a rechercher avec pr´ ecision les valeurs propres
du syst` eme.
Puisqu’en th´ eorie temporelle le probl` eme peut ˆ
etre reformul´ e simplement dans
le plan du vecteur d’onde en un probl` eme bidimensionnel, on peut introduire la
fonction de courant ψ de la perturbation, et exprimer le syst` eme en fonction de ψ.
On retombe dans ce cas exactement sur une ´
equation de la forme pr´ ec´ edente.