8.5 Stabilit´ e des ´
ecoulements presque parall` eles
171
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
γ � = k x .L
t
= τ � L
U ∞
β � = k y .L
Re L =
U ∞ L
ν
ω � =
σ .L
U ∞
Par souci de clart´ e, les variables adimensionn´ ees seront all´ eg´ ees de leur ´
etoile.
La r´ esolution du syst` eme apporte pour solution une description des ondes se
d´ eveloppant dans le temps ou dans l’espace (O; x, y, z). Ces ondes sont la repr´ esentation de perturbations tridimensionnelles superpos´ ees `
a l’´ ecoulement principal
tridimensionnel.
Evolution et transport des ondes
Cette r´ esolution est quelque peu d´ elicate puisqu’elle d´ epend des param` etres complexes (γ, β , ω) et du nombre de Reynolds Re L .
Deux approches sont envisageables :
1. une ´
etude temporelle des perturbations : on recherche ω pour un triplet (γ, β , Re L )
donn´ e. Ceci nous conduit `
a consid´ erer les nombre d’onde γ, β comme des quantit´ es r´ eelles (si ce n’´ etait pas le cas, les solutions ne pourraient ˆ
etre born´ ees `
a
l’infini) et ω reste complexe.
Si ω i < 0, l’onde est amortie. Si ω i > 0, l’onde est amplifi´ ee.
ω i est alors le taux d’amplification des ondes. Lorsque ω i = 0, on se place alors
dans une zone dite de “stabilit´ e neutre” ou “stabilit´ e marginale”.
2. une ´
etude spatiale. Elle implique une recherche de γ, β (complexes) pour un couple (ω, Re L ) donn´ e. Dans ce cas, nous sommes amen´ es `
a prendre ω i = 0, ω r fix´ e.
Une onde est alors amplifi´ ee si γ i < 0.
Dans ce cas, le taux d’amplification des ondes est d´ efini par un vecteur, traditionnellement not´ e k et de composantes (γ, β ) (Fig. 8.5).
8.5.2 Cas des perturbations tridimensionnelles
Th´ eor` eme de Squire :
Supposons un ´
ecoulement bidimensionnel (W = 0), perturb´ e par une onde oblique
de vecteur d’onde k = (γ, β ). Squire montre alors que par la th´ eorie temporelle, le
probl` eme peut se transformer en la recherche d’une perturbation plane, dans le plan
parall` ele `
a k.
ecoulements presque parall` eles
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⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
γ � = k x .L
t
= τ � L
U ∞
β � = k y .L
Re L =
U ∞ L
ν
ω � =
σ .L
U ∞
Par souci de clart´ e, les variables adimensionn´ ees seront all´ eg´ ees de leur ´
etoile.
La r´ esolution du syst` eme apporte pour solution une description des ondes se
d´ eveloppant dans le temps ou dans l’espace (O; x, y, z). Ces ondes sont la repr´ esentation de perturbations tridimensionnelles superpos´ ees `
a l’´ ecoulement principal
tridimensionnel.
Evolution et transport des ondes
Cette r´ esolution est quelque peu d´ elicate puisqu’elle d´ epend des param` etres complexes (γ, β , ω) et du nombre de Reynolds Re L .
Deux approches sont envisageables :
1. une ´
etude temporelle des perturbations : on recherche ω pour un triplet (γ, β , Re L )
donn´ e. Ceci nous conduit `
a consid´ erer les nombre d’onde γ, β comme des quantit´ es r´ eelles (si ce n’´ etait pas le cas, les solutions ne pourraient ˆ
etre born´ ees `
a
l’infini) et ω reste complexe.
Si ω i < 0, l’onde est amortie. Si ω i > 0, l’onde est amplifi´ ee.
ω i est alors le taux d’amplification des ondes. Lorsque ω i = 0, on se place alors
dans une zone dite de “stabilit´ e neutre” ou “stabilit´ e marginale”.
2. une ´
etude spatiale. Elle implique une recherche de γ, β (complexes) pour un couple (ω, Re L ) donn´ e. Dans ce cas, nous sommes amen´ es `
a prendre ω i = 0, ω r fix´ e.
Une onde est alors amplifi´ ee si γ i < 0.
Dans ce cas, le taux d’amplification des ondes est d´ efini par un vecteur, traditionnellement not´ e k et de composantes (γ, β ) (Fig. 8.5).
8.5.2 Cas des perturbations tridimensionnelles
Th´ eor` eme de Squire :
Supposons un ´
ecoulement bidimensionnel (W = 0), perturb´ e par une onde oblique
de vecteur d’onde k = (γ, β ). Squire montre alors que par la th´ eorie temporelle, le
probl` eme peut se transformer en la recherche d’une perturbation plane, dans le plan
parall` ele `
a k.