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8 Stabilit´ e, chaos
Les conditions aux limites de ce probl` eme correspondent `
a l’att´ enuation des perturbations sur la paroi, et `
a l’infini.
⎧
⎨
⎩
u � (x, y, 0) = v � (x, y, 0) = w � (x, y, 0) = 0
u � (x, y, ∞) = v � (x, y, ∞) = w � (x, y, ∞) = 0
Le syst` eme admet une famille de solutions qui se pr´ esentent sous la forme
d’ondes se propageant au sein de l’´ ecoulement. Ces ondes sont comparables aux
ondes que Tollmien et Schlichting ont observ´ ees exp´ erimentalement dans la phase
lin´ eaire de la transition.
Partant de ce principe, le champ f du syst` eme (o` u f = u’,v’,w’,p’) s’´ ecrit sous la
forme :
f (x, y, z,t) = f (z)e
i.(k x x+k y y−σt)
Le scalaire k x (resp. k y ) est le nombre d’onde dans le direction (O; x) (resp
(O; y)). On note la pulsation par σ .
L’introduction de la relation dans le syst` eme entraˆ ıne un d´ eveloppement, qui est
pr´ esent´ e dans l’annexe.
Le syst` eme est adimensionn´ e par rapport aux grandeurs L, et U ∞ , et se simplifie
sous la forme d’une seule ´
equation du quatri` eme ordre en w �� ( o` u la notation “D”
symbolise l’op´ erateur de d´ erivation
∂
∂ z � :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
�
D 2 − (γ 2� + β 2� )
� 2
w ��
−iRe L
�
(γ � U � + β � V � − ω � )
�
D 2 − (γ 2� + β 2� )
�
w �� − D 2 (γ � U � + β � V � )w ��
�
= 0
w �� (z � = 0) = Dw �� (z � = 0) = 0
w �� (z � = ∞) = Dw �� (z � = ∞) = 0
Cette ´
equation est connue sous le nom d’ ”´ equation d’Orr-Sommerfeld”. Elle est
adimensionn´ ee ici par les variables :
8 Stabilit´ e, chaos
Les conditions aux limites de ce probl` eme correspondent `
a l’att´ enuation des perturbations sur la paroi, et `
a l’infini.
⎧
⎨
⎩
u � (x, y, 0) = v � (x, y, 0) = w � (x, y, 0) = 0
u � (x, y, ∞) = v � (x, y, ∞) = w � (x, y, ∞) = 0
Le syst` eme admet une famille de solutions qui se pr´ esentent sous la forme
d’ondes se propageant au sein de l’´ ecoulement. Ces ondes sont comparables aux
ondes que Tollmien et Schlichting ont observ´ ees exp´ erimentalement dans la phase
lin´ eaire de la transition.
Partant de ce principe, le champ f du syst` eme (o` u f = u’,v’,w’,p’) s’´ ecrit sous la
forme :
f (x, y, z,t) = f (z)e
i.(k x x+k y y−σt)
Le scalaire k x (resp. k y ) est le nombre d’onde dans le direction (O; x) (resp
(O; y)). On note la pulsation par σ .
L’introduction de la relation dans le syst` eme entraˆ ıne un d´ eveloppement, qui est
pr´ esent´ e dans l’annexe.
Le syst` eme est adimensionn´ e par rapport aux grandeurs L, et U ∞ , et se simplifie
sous la forme d’une seule ´
equation du quatri` eme ordre en w �� ( o` u la notation “D”
symbolise l’op´ erateur de d´ erivation
∂
∂ z � :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
�
D 2 − (γ 2� + β 2� )
� 2
w ��
−iRe L
�
(γ � U � + β � V � − ω � )
�
D 2 − (γ 2� + β 2� )
�
w �� − D 2 (γ � U � + β � V � )w ��
�
= 0
w �� (z � = 0) = Dw �� (z � = 0) = 0
w �� (z � = ∞) = Dw �� (z � = ∞) = 0
Cette ´
equation est connue sous le nom d’ ”´ equation d’Orr-Sommerfeld”. Elle est
adimensionn´ ee ici par les variables :