8.5 Stabilit´ e des ´
ecoulements presque parall` eles
169
Il vient W � 0, par application de l’´ equation de continuit´ e, et des conditions aux
limites.
Pour ´
etudier la stabilit´ e de la couche limite, des champs de petites perturbations, c’est-` a-dire de faibles amplitudes, sont superpos´ es `
a l’´ ecoulement principal
(Fig. 8.4). La r´ eponse de l’´ ecoulement global par rapport `
a cette excitation permet
alors de caract´ eriser sa stabilit´ e.
On consid` ere les champs de perturbation :
u � (x, y, z,t) , v � (x, y, z,t) , w � (x, y, z,t) , p � (x, y, z,t).
L’´ ecoulement global, solution des ´
equations de Navier-Stokes, est alors d´ efini
comme la superposition de l’´ ecoulement stationnaire initial et des champs de perturbation.
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
u(x, y, z,t) = U(z)
+ u � (x, y, z,t)
v(x, y, z,t) = V (z)
+ v � (x, y, z,t)
w(x, y, z,t) =
w � (x, y, z,t)
p(x, y, z,t) = P(x, y, z) + p � (x, y, z,t)
3. La derni` ere hypoth` ese importante consiste `
a supposer des perturbations de
faibles amplitudes. Les ph´ enom` enes non-lin´ eaires sont donc n´ eglig´ es.
En ´
ecrivant ces ´
equations sur (u,v,w,p) et en n´ egligeant les termes quadratiques
faisant intervenir les composantes de fluctuation, le syst` eme d’´ equations obtenu peut
encore se simplifier, s’il est convenu que l’´ ecoulement (U(z), V (z), W = 0, P)
issu des hypoth` eses pr´ ec´ edentes, est lui-mˆ eme solution des ´
equations de NavierStokes. Nous reviendrons plus loin sur l’impact de ces hypoth` eses sur les r´ esultats
de stabilit´ e.
Ceci conduit au syst` eme :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∂ u �
∂t
+U
∂ u �
∂ x
+V
∂ u �
∂ y
+ w
� dU
dz
= −
1
ρ
∂ p �
∂ x
+ ν
� ∂ 2 u �
∂ x 2 +
∂ 2 u �
∂ y 2 +
∂ 2 u �
∂ z 2
�
∂ v �
∂t
+U
∂ v �
∂ x
+V
∂ v �
∂ y
+ w
� dV
dz
= −
1
ρ
∂ p �
∂ y
+ ν
� ∂ 2 v �
∂ x 2 +
∂ 2 v �
∂ y 2 +
∂ 2 v �
∂ z 2
�
∂ w �
∂t
+U
∂ w �
∂ x
+V
∂ w �
∂ y
= −
1
ρ
∂ p �
∂ z
+ ν
� ∂ 2 w �
∂ x 2 +
∂ 2 w �
∂ y 2 +
∂ 2 w �
∂ z 2
�