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2 Equations de conservation
Fig. 2.1 Milieu form´ e de particules de taille ε distantes en moyenne de δ consid´ er´ e comme un
milieu continu de volume Ω limit´ e par la surface Σ munie d’une normale ext´ erieure n
de milieu continu. Elle est d´ efinie par l << L o` u l est le libre parcours moyen des
mol´ ecules et L la dimension caract´ eristique du domaine.
Le volume de contrˆ ole contient, outre le fluide, des particules solides dispers´ ees
dans le milieu et dont les dimensions sont tr` es petites devant la distance moyenne
qui les s´ epare δ << l. Cet ensemble de particules solides immobiles introduit une
r´ esistance visqueuse qui peut ˆ
etre caract´ eris´ ee par une ”traˆ ın´ ee volumique”.
2.2 Cin´ ematique des fluides
2.2.1 D´ eriv´ ee particulaire
Il existe deux m´ ethodes pour d´ ecrire le mouvement d’un syst` eme mat´ eriel continu [29]:
• la description Lagrangiennne : on rattache les diff´ erentes grandeurs au point
mat´ eriel
• la m´ ethode Eul´ eriennne : on rattache les diff´ erentes grandeurs au point g´ eom´ etrique.
2.2.2 Description Lagrangienne
On se donne les ´
equations param´ etriques de la trajectoire (Fig. 2.2) de l’ensemble
des points mat´ eriels P dans un rep` ere cart´ esien. Si (x 0
1 , x 0
2 , x 0
3 ) sont les coordonn´ ees
initiales du point P consid´ er´ e (` a t=0), on suppose connues les relations x i =
x i (x 0
1 , x 0
2 , x 0
3 ,t) qui donnent la position du point P `
a l’instant t qui ´
etait initialement
en P 0 (x 0
1 , x 0
2 , x 0
3 )
(x 0
1 , x 0
2 , x 0
3 ) sont les variables ind´ ependantes de Lagrange
Toute grandeur li´ ee `
a un ´
el´ ement mat´ eriel P du continu peut ˆ
etre ´
etudi´ ee en suivant sa trajectoire. Elle est alors fonction de (x 0
1 , x 0
2 , x 0
3 ,t)
2 Equations de conservation
Fig. 2.1 Milieu form´ e de particules de taille ε distantes en moyenne de δ consid´ er´ e comme un
milieu continu de volume Ω limit´ e par la surface Σ munie d’une normale ext´ erieure n
de milieu continu. Elle est d´ efinie par l << L o` u l est le libre parcours moyen des
mol´ ecules et L la dimension caract´ eristique du domaine.
Le volume de contrˆ ole contient, outre le fluide, des particules solides dispers´ ees
dans le milieu et dont les dimensions sont tr` es petites devant la distance moyenne
qui les s´ epare δ << l. Cet ensemble de particules solides immobiles introduit une
r´ esistance visqueuse qui peut ˆ
etre caract´ eris´ ee par une ”traˆ ın´ ee volumique”.
2.2 Cin´ ematique des fluides
2.2.1 D´ eriv´ ee particulaire
Il existe deux m´ ethodes pour d´ ecrire le mouvement d’un syst` eme mat´ eriel continu [29]:
• la description Lagrangiennne : on rattache les diff´ erentes grandeurs au point
mat´ eriel
• la m´ ethode Eul´ eriennne : on rattache les diff´ erentes grandeurs au point g´ eom´ etrique.
2.2.2 Description Lagrangienne
On se donne les ´
equations param´ etriques de la trajectoire (Fig. 2.2) de l’ensemble
des points mat´ eriels P dans un rep` ere cart´ esien. Si (x 0
1 , x 0
2 , x 0
3 ) sont les coordonn´ ees
initiales du point P consid´ er´ e (` a t=0), on suppose connues les relations x i =
x i (x 0
1 , x 0
2 , x 0
3 ,t) qui donnent la position du point P `
a l’instant t qui ´
etait initialement
en P 0 (x 0
1 , x 0
2 , x 0
3 )
(x 0
1 , x 0
2 , x 0
3 ) sont les variables ind´ ependantes de Lagrange
Toute grandeur li´ ee `
a un ´
el´ ement mat´ eriel P du continu peut ˆ
etre ´
etudi´ ee en suivant sa trajectoire. Elle est alors fonction de (x 0
1 , x 0
2 , x 0
3 ,t)