Chapitre 2
Equations de conservation
Les ´
equations de conservation associ´ ees aux lois constitutives sont les outils du
m´ ecanicien des fluides, elles contiennent l’ensemble des connaissances n´ ecessaires
pour reproduire int´ egralement le ph´ enom` ene observ´ e par la voie de la r´ esolution
ou de la simulation. La mod´ elisation physique qui conduit `
a ce syst` eme d’´ equations
repr´ esentatives est ainsi la pierre angulaire de toute construction math´ ematique
qui vise `
a appr´ ehender les ´
ecoulements de fluides du point de vue th´ eorique. Ces
´
equations sont ´
etablies sur la base d’hypoth` eses et de postulats souvent anciens
dont il convient de rappeler le sens et ´
eventuellement d’en discuter le bien fond´ e.
Les diff´ erentes pr´ esentations d’un ouvrage de m´ ecanique des fluides, qu’il soit
organis´ e en ´
equations g´ en´ erales puis en cas particuliers comme ici, ou bien, `
a
l’inverse que les cas simples permettent d’introduire des concepts plus g´ en´ eraux,
doivent permettre au lecteur de comprendre le contexte dans lequel il est plac´ e.
Par exemple un ig´ enieur qui aurait oubli´ e que la loi de Bernouilli n’est applicable que dans des hypoth` eses tr` es restrictives pourrait ˆ
etre tent´ e de l’appliquer `
a
tout probl` eme pos´ e. Il convient donc de bien comprendre que tout probl` eme doit
faire l’objet d’une analyse objective de tous les ph´ enom` enes physiques qui lui sont
associ´ es avant toute mod´ elisation.
2.1 Notion de milieu continu
Le concept de milieu continu est attach´ e `
a une perception ”m´ ecanicienne”
de la mati` ere par comparaison `
a une vision plus physique qui d´ ecrit la nature corpusculaire de la mati` ere. Chaque grandeur est d´ efinie pour un ensemble suffisant de
particules centr´ ees autour du point P sur lequel est attach´ ee cette grandeur (Fig. 2.1).
Consid´ erons un volume de contrˆ ole Ω limit´ e par une surface Σ sur laquelle nous
d´ efinissons une normale ext´ erieure n.
Cet ouvert Ω contient un fluide : liquide, ou gaz `
a pression suffisante de mani` ere
que le libre parcours moyen des mol´ ecules soit tr` es inf´ erieur aux dimensions caract´ eristiques du domaine. Cette condition sera implicitement incluse dans le concept
5
J.-P. Caltagirone, Physique des Écoulements Continus,
Mathématiques et Applications 74, DOI: 10.1007/978-3-642-39510-9_2,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
Equations de conservation
Les ´
equations de conservation associ´ ees aux lois constitutives sont les outils du
m´ ecanicien des fluides, elles contiennent l’ensemble des connaissances n´ ecessaires
pour reproduire int´ egralement le ph´ enom` ene observ´ e par la voie de la r´ esolution
ou de la simulation. La mod´ elisation physique qui conduit `
a ce syst` eme d’´ equations
repr´ esentatives est ainsi la pierre angulaire de toute construction math´ ematique
qui vise `
a appr´ ehender les ´
ecoulements de fluides du point de vue th´ eorique. Ces
´
equations sont ´
etablies sur la base d’hypoth` eses et de postulats souvent anciens
dont il convient de rappeler le sens et ´
eventuellement d’en discuter le bien fond´ e.
Les diff´ erentes pr´ esentations d’un ouvrage de m´ ecanique des fluides, qu’il soit
organis´ e en ´
equations g´ en´ erales puis en cas particuliers comme ici, ou bien, `
a
l’inverse que les cas simples permettent d’introduire des concepts plus g´ en´ eraux,
doivent permettre au lecteur de comprendre le contexte dans lequel il est plac´ e.
Par exemple un ig´ enieur qui aurait oubli´ e que la loi de Bernouilli n’est applicable que dans des hypoth` eses tr` es restrictives pourrait ˆ
etre tent´ e de l’appliquer `
a
tout probl` eme pos´ e. Il convient donc de bien comprendre que tout probl` eme doit
faire l’objet d’une analyse objective de tous les ph´ enom` enes physiques qui lui sont
associ´ es avant toute mod´ elisation.
2.1 Notion de milieu continu
Le concept de milieu continu est attach´ e `
a une perception ”m´ ecanicienne”
de la mati` ere par comparaison `
a une vision plus physique qui d´ ecrit la nature corpusculaire de la mati` ere. Chaque grandeur est d´ efinie pour un ensemble suffisant de
particules centr´ ees autour du point P sur lequel est attach´ ee cette grandeur (Fig. 2.1).
Consid´ erons un volume de contrˆ ole Ω limit´ e par une surface Σ sur laquelle nous
d´ efinissons une normale ext´ erieure n.
Cet ouvert Ω contient un fluide : liquide, ou gaz `
a pression suffisante de mani` ere
que le libre parcours moyen des mol´ ecules soit tr` es inf´ erieur aux dimensions caract´ eristiques du domaine. Cette condition sera implicitement incluse dans le concept
5
J.-P. Caltagirone, Physique des Écoulements Continus,
Mathématiques et Applications 74, DOI: 10.1007/978-3-642-39510-9_2,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013