1.1 La mod´ elisation en M´ ecanique des Fluides
3
• d- Ph´ enom` enes mis en jeu
Il est aussi n´ ecessaire de d´ egager les processus fondamentaux au sein du probl` eme
r´ eel : diffusion, propagation, advection, convection etc. La pr´ esence de r´ eactions
chimiques, de ph´ enom` enes superficiels ou d’autres processus ´
eventuels seront
aussi pris en compte.
L’´ evaluation de l’importance de ces ph´ enom` enes essentiels sera ais´ ement r´ ealis´ ee
`
a l’aide des param` etres adimensionnels correspondant g´ en´ eralement au rapport
de deux effets comme le nombre de Reynolds Re, le nombre de Rayleigh Ra, le
nombre de Mach M, etc.
Cette analyse sur les ph´ enom` enes mis en jeu doit aboutir `
a l’´ ecriture de lois
ph´ enom´ enologiques, g´ en´ eralement des relations flux/forces qui permettront la
fermeture du syst` eme d’´ equations de bilans.
• e- Syst` eme d’´ equations repr´ esentatives
La solution unique ou correspondant `
a des ´
etats multiples peut ˆ
etre recherch´ ee `
a
partir des ´
equations de conservation de la m´ ecanique des fluides ´
etablies pour un
milieu continu :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dρ
dt
+ ρ ∇ · V = 0
ρ
� ∂ V
∂t
+ V · ∇V
�
= −∇p + f + ∇ ·
� μ
� ∇V + ∇
t
V
�� + ∇ (λ ∇ · V)
ρ c p
� ∂ T
∂t
+ V · ∇T
�
= ∇ · (λ ∇T ) + β T
d p
dt
+ q + Φ
Ce syst` eme d’´ equations pr´ esente des non-lin´ earit´ es g´ en´ eratrices de bifurcations,
de chaos et de turbulence.
• f- R´ esolution des ´
equations
Le syst` eme d’´ equations muni de conditions aux limites ne pr´ esente g´ en´ eralement
pas de solution analytique. La recherche d’une solution approch´ ee passe par une
´
etape de discr´ etisation spatiale et temporelle afin de trouver les valeurs en un
certain nombre de degr´ es de libert´ e N. La solution du probl` eme continu peut
alors ˆ
etre consid´ er´ ee comme la limite du probl` eme discontinu:
u(x, y, z,t) = lim
N→∞
u N (x i , y j , z k ,t n )
Se posent alors les probl` emes math´ ematiques li´ es `
a l’unicit´ e et la convergence de
la solution et la consistance des op´ erateurs discrets.
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• d- Ph´ enom` enes mis en jeu
Il est aussi n´ ecessaire de d´ egager les processus fondamentaux au sein du probl` eme
r´ eel : diffusion, propagation, advection, convection etc. La pr´ esence de r´ eactions
chimiques, de ph´ enom` enes superficiels ou d’autres processus ´
eventuels seront
aussi pris en compte.
L’´ evaluation de l’importance de ces ph´ enom` enes essentiels sera ais´ ement r´ ealis´ ee
`
a l’aide des param` etres adimensionnels correspondant g´ en´ eralement au rapport
de deux effets comme le nombre de Reynolds Re, le nombre de Rayleigh Ra, le
nombre de Mach M, etc.
Cette analyse sur les ph´ enom` enes mis en jeu doit aboutir `
a l’´ ecriture de lois
ph´ enom´ enologiques, g´ en´ eralement des relations flux/forces qui permettront la
fermeture du syst` eme d’´ equations de bilans.
• e- Syst` eme d’´ equations repr´ esentatives
La solution unique ou correspondant `
a des ´
etats multiples peut ˆ
etre recherch´ ee `
a
partir des ´
equations de conservation de la m´ ecanique des fluides ´
etablies pour un
milieu continu :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
dρ
dt
+ ρ ∇ · V = 0
ρ
� ∂ V
∂t
+ V · ∇V
�
= −∇p + f + ∇ ·
� μ
� ∇V + ∇
t
V
�� + ∇ (λ ∇ · V)
ρ c p
� ∂ T
∂t
+ V · ∇T
�
= ∇ · (λ ∇T ) + β T
d p
dt
+ q + Φ
Ce syst` eme d’´ equations pr´ esente des non-lin´ earit´ es g´ en´ eratrices de bifurcations,
de chaos et de turbulence.
• f- R´ esolution des ´
equations
Le syst` eme d’´ equations muni de conditions aux limites ne pr´ esente g´ en´ eralement
pas de solution analytique. La recherche d’une solution approch´ ee passe par une
´
etape de discr´ etisation spatiale et temporelle afin de trouver les valeurs en un
certain nombre de degr´ es de libert´ e N. La solution du probl` eme continu peut
alors ˆ
etre consid´ er´ ee comme la limite du probl` eme discontinu:
u(x, y, z,t) = lim
N→∞
u N (x i , y j , z k ,t n )
Se posent alors les probl` emes math´ ematiques li´ es `
a l’unicit´ e et la convergence de
la solution et la consistance des op´ erateurs discrets.