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8 Stabilit´ e, chaos
o` u H est un espace de fonctions cin´ ematiquement admissibles :
H = {(v, θ ) : ∇ · v = 0, v | Σ = 0, θ | Σ = 0}
tels que
ε(t) < ε(0) exp
−
a 2
Re
1 −
Re
R E
t
Lorsque Re < R E la perturbation d´ ecroit.
La d´ etermination de R E s’effectue `
a partir de son expression pr´ ec´ edente en transformant le probl` eme de l’optimisation en un probl` eme variationnel ´
equivalent. La
caract´ erisation du nombre de Reynolds critique ´
energ´ etique R E se ram` ene donc `
a un
probl` eme de valeurs propres `
a savoir : d´ eterminer les valeurs propres, dont la valeur
minimum, de l’´ equation d’Euler, trouv´ ee l’aide du calcul variationnel
8.4 Exemples d’instabilit´ es
Le tableau 8.1 r´ esume les param` etres physiques et adimensionnelles pour quelques
instabilit´ es classiques.
Tableau 8.1 Caract´ eristiques de certaines instabilit´ es d’apr` es E. Guyon [21]
Rayleigh-B´ enard
Taylor-Couette
B´ enard-Marangoni
Force de freinage visqueuse
F = μV 0 H
F = μV 0 H
F = μV 0 H
Force motrice
Archim` ede
Centrifuge
Tension superficielle
ρβ gν(H 4 /a)(Δ T /H) ρV 0 H 2 Ω 2 R(H 2 /4) V 0 (H 3 /a)(dγ/dT )(δ T /H)
Temps caract´ eristique
H 2 /a
H 2 /ν
H 2 /a
de relaxation
Param` etre caract´ eristique
Rayleigh
Taylor
Marangoni
gβ H 3 Δ T /νa
Ω 2 RH 3 /ν 2
(dγ/dT )Δ T H/(μa)
Valeurs critiques
Ra = 1707.762
Ta = 1712
Ma = 80
d’apparition des instabilit´ es
k c = 3.11/H
k c = 3.11/H
8.4.1 Instabilit´ e de Rayleigh-B´ enard
Le cas c´ el` ebre de l’instabilit´ e de Rayleigh-B´ enard peut ˆ
etre appr´ ehend´ e th´ eoriquement `
a partir d’une analyse lin´ eaire de la stabilit´ e. Elle correspond `
a l’apparition
de rouleaux convectifs dans une couche de fluide incluse entre deux plans horizontaux diff´ erentiellement chauff´ es, la paroi chaude est au-dessous. La convection se
d´ eveloppe en rouleaux align´ es orthogonalement au plus petit cˆ ot´ e de la cavit´ e parall´ el´ epip´ edique (Fig. 8.3).
La th´ eorie lin´ eaire permet d’acc´ eder au nombre de Rayleigh critique de la transition et au nombre d’onde de la perturbation la plus probable d´ efinissant la largeur
8 Stabilit´ e, chaos
o` u H est un espace de fonctions cin´ ematiquement admissibles :
H = {(v, θ ) : ∇ · v = 0, v | Σ = 0, θ | Σ = 0}
tels que
ε(t) < ε(0) exp
−
a 2
Re
1 −
Re
R E
t
Lorsque Re < R E la perturbation d´ ecroit.
La d´ etermination de R E s’effectue `
a partir de son expression pr´ ec´ edente en transformant le probl` eme de l’optimisation en un probl` eme variationnel ´
equivalent. La
caract´ erisation du nombre de Reynolds critique ´
energ´ etique R E se ram` ene donc `
a un
probl` eme de valeurs propres `
a savoir : d´ eterminer les valeurs propres, dont la valeur
minimum, de l’´ equation d’Euler, trouv´ ee l’aide du calcul variationnel
8.4 Exemples d’instabilit´ es
Le tableau 8.1 r´ esume les param` etres physiques et adimensionnelles pour quelques
instabilit´ es classiques.
Tableau 8.1 Caract´ eristiques de certaines instabilit´ es d’apr` es E. Guyon [21]
Rayleigh-B´ enard
Taylor-Couette
B´ enard-Marangoni
Force de freinage visqueuse
F = μV 0 H
F = μV 0 H
F = μV 0 H
Force motrice
Archim` ede
Centrifuge
Tension superficielle
ρβ gν(H 4 /a)(Δ T /H) ρV 0 H 2 Ω 2 R(H 2 /4) V 0 (H 3 /a)(dγ/dT )(δ T /H)
Temps caract´ eristique
H 2 /a
H 2 /ν
H 2 /a
de relaxation
Param` etre caract´ eristique
Rayleigh
Taylor
Marangoni
gβ H 3 Δ T /νa
Ω 2 RH 3 /ν 2
(dγ/dT )Δ T H/(μa)
Valeurs critiques
Ra = 1707.762
Ta = 1712
Ma = 80
d’apparition des instabilit´ es
k c = 3.11/H
k c = 3.11/H
8.4.1 Instabilit´ e de Rayleigh-B´ enard
Le cas c´ el` ebre de l’instabilit´ e de Rayleigh-B´ enard peut ˆ
etre appr´ ehend´ e th´ eoriquement `
a partir d’une analyse lin´ eaire de la stabilit´ e. Elle correspond `
a l’apparition
de rouleaux convectifs dans une couche de fluide incluse entre deux plans horizontaux diff´ erentiellement chauff´ es, la paroi chaude est au-dessous. La convection se
d´ eveloppe en rouleaux align´ es orthogonalement au plus petit cˆ ot´ e de la cavit´ e parall´ el´ epip´ edique (Fig. 8.3).
La th´ eorie lin´ eaire permet d’acc´ eder au nombre de Rayleigh critique de la transition et au nombre d’onde de la perturbation la plus probable d´ efinissant la largeur