8.3 M´ ethode de l’´ energie
165
La th´ eorie lin´ eaire apparaˆ ıt comme la premi` ere ´
etape de l’´ etude de la stabilit´ e
compl´ et´ ee par la m´ ethode de l’´ energie, la th´ eorie des bifurcations et l’int´ egration
des ´
equations non lin´ eaires. Les valeurs propres σ sont g´ en´ eralement complexes et
peuvent s’´ ecrire : σ = σ r + ı σ i avec σ r = ℜ(σ ), σ i = ℑ(σ ). Lorsque σ r = 0 et
σ i = 0 , l’´ etat marginal est stationnaire et le principe ” d’´ echange de stabilit´ e ” est
satisfait. La solution neutre est temporellement p´ eriodique si la partie imaginaire de
σ , σ i est non nulle σ i � = 0.
Dans le cas de syst` emes dissipatifs, Glansdorff et Prigogine et Chandrasehhan
montrent que le principe d’´ echange de stabilit´ e est satisfait et correspond `
a la notion
de stabilit´ e asymptotique de Poincar´ e.
8.3 M´ ethode de l’´ energie
Consid´ erons un ´
ecoulement quelconque caract´ eris´ e par son ´
etat de contrainte R
(Ra, nombre de Rayleigh, ou Re nombre de Reynolds, ...). Cet ´
ecoulement sera
r´ eput´ e stable si la limite pour un temps infini de l’´ energie de toute perturbation
est nulle. Cette conditionpermet de d´ efinir un seuil w permet de d´ efinir un seuil
d’instabilit´ e R G quasiment impossible `
a calculer. Toutefois on peut essayer de cerner
cette valeur. La th´ eorie lin´ eaire a permis de fournir un crit` ere d’instabilit´ e R L pour
les perturbations infiniment petites, mais ne peut donner le comportement du fluide
face `
a une perturbation de taille finie.
La m´ ethode de l’´ energie d´ evelopp´ ee ici permet de fixer un seuil inf´ erieur de
stabilit´ e R E . Si le nombre de R est strictement inf´ erieur `
a R E , l’´ energie de toute
perturbation d’amplitude arbitraire sera nulle lorsque t → ∞ et de plus, d´ ecroˆ ıt `
a
tout instant. Si R > R E , il existe des perturbations pour lesquelles l’´ energie, au moins
pendant un instant donn´ e, croˆ ıt avec le temps.
Dans le cas o` u le principe d’´ echange de stabilit´ e est satisfait les deux crit` eres
de stabilit´ e sont ´
egaux : R L = R G = R E . Pour mettre en oeuvre cette m´ ethode de
l’´ energie nous supposerons n´ egligeables les ph´ enom` enes dus `
a la gravit´ e Ra = 0,
les contraintes ´
etant ainsi caract´ eris´ es par le nombre de Reynolds.
Reprenons les ´
equations de perturbations non lin´ eaires :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∇ · v = 0
∂ v
∂t
+ V 0 · ∇v + v · ∇V 0 + v · ∇v = ∇π +
1
Re
∇
2
v
∂ θ
∂t
+ V 0 · ∇θ + v · ∇T 0 + v · ∇θ =
1
Re Pr
∇
2
θ
Multiplions l’´ equation de quantit´ e de mouvement par v, l’´ equation de l’´ energie
par θ et int´ egrons `
a tout le volume Ω .
D’apr` es les th´ eor` emes sur la stabilit´ e ´
energ´ etique de O. Reynolds (1895), Orr
(1907), Serrin (1959), il existe une constante a et un nombre R E d´ efini par
1
R E
= max H −
< v · D · v > +λ 1/2 Pr < v · ∇T 0 θ >
< �∇v� 2 + �∇θ � 2 >
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La th´ eorie lin´ eaire apparaˆ ıt comme la premi` ere ´
etape de l’´ etude de la stabilit´ e
compl´ et´ ee par la m´ ethode de l’´ energie, la th´ eorie des bifurcations et l’int´ egration
des ´
equations non lin´ eaires. Les valeurs propres σ sont g´ en´ eralement complexes et
peuvent s’´ ecrire : σ = σ r + ı σ i avec σ r = ℜ(σ ), σ i = ℑ(σ ). Lorsque σ r = 0 et
σ i = 0 , l’´ etat marginal est stationnaire et le principe ” d’´ echange de stabilit´ e ” est
satisfait. La solution neutre est temporellement p´ eriodique si la partie imaginaire de
σ , σ i est non nulle σ i � = 0.
Dans le cas de syst` emes dissipatifs, Glansdorff et Prigogine et Chandrasehhan
montrent que le principe d’´ echange de stabilit´ e est satisfait et correspond `
a la notion
de stabilit´ e asymptotique de Poincar´ e.
8.3 M´ ethode de l’´ energie
Consid´ erons un ´
ecoulement quelconque caract´ eris´ e par son ´
etat de contrainte R
(Ra, nombre de Rayleigh, ou Re nombre de Reynolds, ...). Cet ´
ecoulement sera
r´ eput´ e stable si la limite pour un temps infini de l’´ energie de toute perturbation
est nulle. Cette conditionpermet de d´ efinir un seuil w permet de d´ efinir un seuil
d’instabilit´ e R G quasiment impossible `
a calculer. Toutefois on peut essayer de cerner
cette valeur. La th´ eorie lin´ eaire a permis de fournir un crit` ere d’instabilit´ e R L pour
les perturbations infiniment petites, mais ne peut donner le comportement du fluide
face `
a une perturbation de taille finie.
La m´ ethode de l’´ energie d´ evelopp´ ee ici permet de fixer un seuil inf´ erieur de
stabilit´ e R E . Si le nombre de R est strictement inf´ erieur `
a R E , l’´ energie de toute
perturbation d’amplitude arbitraire sera nulle lorsque t → ∞ et de plus, d´ ecroˆ ıt `
a
tout instant. Si R > R E , il existe des perturbations pour lesquelles l’´ energie, au moins
pendant un instant donn´ e, croˆ ıt avec le temps.
Dans le cas o` u le principe d’´ echange de stabilit´ e est satisfait les deux crit` eres
de stabilit´ e sont ´
egaux : R L = R G = R E . Pour mettre en oeuvre cette m´ ethode de
l’´ energie nous supposerons n´ egligeables les ph´ enom` enes dus `
a la gravit´ e Ra = 0,
les contraintes ´
etant ainsi caract´ eris´ es par le nombre de Reynolds.
Reprenons les ´
equations de perturbations non lin´ eaires :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∇ · v = 0
∂ v
∂t
+ V 0 · ∇v + v · ∇V 0 + v · ∇v = ∇π +
1
Re
∇
2
v
∂ θ
∂t
+ V 0 · ∇θ + v · ∇T 0 + v · ∇θ =
1
Re Pr
∇
2
θ
Multiplions l’´ equation de quantit´ e de mouvement par v, l’´ equation de l’´ energie
par θ et int´ egrons `
a tout le volume Ω .
D’apr` es les th´ eor` emes sur la stabilit´ e ´
energ´ etique de O. Reynolds (1895), Orr
(1907), Serrin (1959), il existe une constante a et un nombre R E d´ efini par
1
R E
= max H −
< v · D · v > +λ 1/2 Pr < v · ∇T 0 θ >
< �∇v� 2 + �∇θ � 2 >