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8 Stabilit´ e, chaos
8.2 Th´ eorie lin´ eaire de la stabilit´ e
Dans le cadre de la th´ eorie lin´ eaire les perturbations θ , v, π sont suppos´ ees infiniment petites de sorte que les termes du second ordre tels que v · ∇v et v · ∇θ
sont n´ egligeables, les ´
equations ´
etant ainsi lin´ earis´ ees. Les ´
equations obtenues sont
celles d’un oscillateur lin´ eaire associ´ e `
a a position d’´ equilibre.
Les ´
equations de perturbations lin´ earis´ ees s’´ ecrivent :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∇ · v = 0
∂ v
∂t
+ V 0 · ∇v + v · ∇V 0 = ∇π +
Ra
Pr Re 2 kθ +
1
Re
∇
2
v
∂ θ
∂t
+ V 0 · ∇θ + v · ∇T 0 =
1
Re Pr
∇
2
θ
avec v | Σ = 0, θ | Σ = 0 et v | t=0 = v(x, 0), θ | t=0 = θ (x, 0).
Ce syst` eme peut se mettre sous la forme :
d
dt
�
�
�
�
�
�
v
θ
�
�
�
�
�
�
+
�
�
�
�
�
�
�
V 0 · ∇ + ∇V 0 −
1
Re
∇
2
−
Ra
Re 2 Pr
k
∇T 0
V 0 · ∇ −
1
Re Pr
∇
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
v
θ
�
�
�
�
�
�
+
�
�
�
�
�
�
∇p
0
�
�
�
�
�
�
= 0
Ce syst` eme diff´ erentiel autonome admet des solutions de type exponentiel [7]
sous la forme :
⎧
⎨
⎩
v(x,t) = v(x) exp(−σ t)
p(x,t) = π(x) exp(−σ t)
θ (x,t) = θ (x) exp(−σ t)
L’introduction de ces expressions dans le syst` eme conduit au probl` eme spectral
aux valeurs propres suivant
−σξ + L (V 0 , T 0 , Ra, Re, Pr, θ , v) ξ + δ = 0
avec ∇ · v = 0, v | Σ = 0, θ | Σ = 0 et o` u ξ = (v, θ ), δ = (∇p, 0). L est ici l’op´ erateur
lin´ eaire associ´ e.
Ce syst` eme n’admet de solutions non triviales que pour des valeurs particuli` eres
de σ appel´ ees valeurs propres et v(x) et θ (x), p(x) sont les fonctions propres
de l’op´ erateur lin´ eaire. - L’´ ecoulement est qualifi´ e de stable, au sens lin´ eaire, s’il
n’existe pas de valeurs propres telles que ℜ(σ ) > 0 , instable s’il existe au moins une
valeur propre telle que ℜ(σ ) < 0 . S’il existe une valeur propre telle que ℜ(σ ) = 0
l’´ etat est qualifi´ e de marginal, il y a stabilit´ e neutre de l’´ ecoulement. Cette th´ eorie
lin´ eaire d´ ecrit l’´ evolution du syst` eme au voisinage de l’´ etat marginal car on peut
remarquer que lorsque le temps croˆ ıt, les perturbations croissent exponentiellement
et tendent vers l’infini si ℜ(σ ) < 0 et tendent vers z´ ero lorsque ℜ(σ ) > 0.
8 Stabilit´ e, chaos
8.2 Th´ eorie lin´ eaire de la stabilit´ e
Dans le cadre de la th´ eorie lin´ eaire les perturbations θ , v, π sont suppos´ ees infiniment petites de sorte que les termes du second ordre tels que v · ∇v et v · ∇θ
sont n´ egligeables, les ´
equations ´
etant ainsi lin´ earis´ ees. Les ´
equations obtenues sont
celles d’un oscillateur lin´ eaire associ´ e `
a a position d’´ equilibre.
Les ´
equations de perturbations lin´ earis´ ees s’´ ecrivent :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
∇ · v = 0
∂ v
∂t
+ V 0 · ∇v + v · ∇V 0 = ∇π +
Ra
Pr Re 2 kθ +
1
Re
∇
2
v
∂ θ
∂t
+ V 0 · ∇θ + v · ∇T 0 =
1
Re Pr
∇
2
θ
avec v | Σ = 0, θ | Σ = 0 et v | t=0 = v(x, 0), θ | t=0 = θ (x, 0).
Ce syst` eme peut se mettre sous la forme :
d
dt
�
�
�
�
�
�
v
θ
�
�
�
�
�
�
+
�
�
�
�
�
�
�
V 0 · ∇ + ∇V 0 −
1
Re
∇
2
−
Ra
Re 2 Pr
k
∇T 0
V 0 · ∇ −
1
Re Pr
∇
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
v
θ
�
�
�
�
�
�
+
�
�
�
�
�
�
∇p
0
�
�
�
�
�
�
= 0
Ce syst` eme diff´ erentiel autonome admet des solutions de type exponentiel [7]
sous la forme :
⎧
⎨
⎩
v(x,t) = v(x) exp(−σ t)
p(x,t) = π(x) exp(−σ t)
θ (x,t) = θ (x) exp(−σ t)
L’introduction de ces expressions dans le syst` eme conduit au probl` eme spectral
aux valeurs propres suivant
−σξ + L (V 0 , T 0 , Ra, Re, Pr, θ , v) ξ + δ = 0
avec ∇ · v = 0, v | Σ = 0, θ | Σ = 0 et o` u ξ = (v, θ ), δ = (∇p, 0). L est ici l’op´ erateur
lin´ eaire associ´ e.
Ce syst` eme n’admet de solutions non triviales que pour des valeurs particuli` eres
de σ appel´ ees valeurs propres et v(x) et θ (x), p(x) sont les fonctions propres
de l’op´ erateur lin´ eaire. - L’´ ecoulement est qualifi´ e de stable, au sens lin´ eaire, s’il
n’existe pas de valeurs propres telles que ℜ(σ ) > 0 , instable s’il existe au moins une
valeur propre telle que ℜ(σ ) < 0 . S’il existe une valeur propre telle que ℜ(σ ) = 0
l’´ etat est qualifi´ e de marginal, il y a stabilit´ e neutre de l’´ ecoulement. Cette th´ eorie
lin´ eaire d´ ecrit l’´ evolution du syst` eme au voisinage de l’´ etat marginal car on peut
remarquer que lorsque le temps croˆ ıt, les perturbations croissent exponentiellement
et tendent vers l’infini si ℜ(σ ) < 0 et tendent vers z´ ero lorsque ℜ(σ ) > 0.