8.1 G´ en´ eralit´ es
163
lim
t→∞
ε(t)
ε(0)
→ 0
ε(0) d´ esigne la perturbation initiale.
Fig. 8.2 Diagramme de stabilit´ e d’un ´
ecoulement; ε 0 est l’´ energie initiale de la perturbation de
vitesse et R est la contrainte, g´ en´ eralement le nombre de Reynolds; Les nombre R ε et R L d´ efinissent
respectivement les crit` eres de stabilit´ e ´
energ´ etique et lin´ eaire
Les diverses d´ efinitions de la stabilit´ e peuvent ˆ
etre discut´ ees sur le diagramme
ε(0) = f (R), R caract´ erisant l’´ etat des contraintes impos´ ees au syst` eme et pouvant
ˆ
etre Re, le nombre de Reynolds ou Ra , le nombre de Rayleigh (Fig. 8.2).
Si ε(t) tend vers z´ ero et que, de plus, dε(t)/dt � 0 le syst` eme sera monotiquement stable ; si cette derni` ere condition n’est pas v´ erifi´ ee mais que ε(t) tend vers la
solution identiquement nulle, le syst` eme sera globalement stable. Si la stabilit´ e n’est
assur´ ee que pour des perturbations initiales inf´ erieures `
a une limite, le syst` eme sera
dit conditionnellement stable. Enfin, dans les autres cas le syst` eme sera instable,
quelque soit le niveau de la perturbation.
Les th´ eories de la stabilit´ e, expos´ ee plus loin `
a partir des ´
equations, permettront
de d´ efinir un crit` ere suffisant d’instabilit´ e R L et un crit` ere n´ ecessaire de stabilit´ e
R E ; ces deux crit` eres s’obtiennent respectivement `
a partir de la th´ eorie lin´ eaire de
la stabilit´ e et de la m´ ethode de l’´ energie. Ces limites encadrent la valeur r´ eelle de
transition physique entre les zones stable et instable. Dans certains cas simples, les
crit` eres dus `
a la th´ eorie lin´ eaire et `
a la m´ ethode de l’´ energie sont ´
egaux..
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lim
t→∞
ε(t)
ε(0)
→ 0
ε(0) d´ esigne la perturbation initiale.
Fig. 8.2 Diagramme de stabilit´ e d’un ´
ecoulement; ε 0 est l’´ energie initiale de la perturbation de
vitesse et R est la contrainte, g´ en´ eralement le nombre de Reynolds; Les nombre R ε et R L d´ efinissent
respectivement les crit` eres de stabilit´ e ´
energ´ etique et lin´ eaire
Les diverses d´ efinitions de la stabilit´ e peuvent ˆ
etre discut´ ees sur le diagramme
ε(0) = f (R), R caract´ erisant l’´ etat des contraintes impos´ ees au syst` eme et pouvant
ˆ
etre Re, le nombre de Reynolds ou Ra , le nombre de Rayleigh (Fig. 8.2).
Si ε(t) tend vers z´ ero et que, de plus, dε(t)/dt � 0 le syst` eme sera monotiquement stable ; si cette derni` ere condition n’est pas v´ erifi´ ee mais que ε(t) tend vers la
solution identiquement nulle, le syst` eme sera globalement stable. Si la stabilit´ e n’est
assur´ ee que pour des perturbations initiales inf´ erieures `
a une limite, le syst` eme sera
dit conditionnellement stable. Enfin, dans les autres cas le syst` eme sera instable,
quelque soit le niveau de la perturbation.
Les th´ eories de la stabilit´ e, expos´ ee plus loin `
a partir des ´
equations, permettront
de d´ efinir un crit` ere suffisant d’instabilit´ e R L et un crit` ere n´ ecessaire de stabilit´ e
R E ; ces deux crit` eres s’obtiennent respectivement `
a partir de la th´ eorie lin´ eaire de
la stabilit´ e et de la m´ ethode de l’´ energie. Ces limites encadrent la valeur r´ eelle de
transition physique entre les zones stable et instable. Dans certains cas simples, les
crit` eres dus `
a la th´ eorie lin´ eaire et `
a la m´ ethode de l’´ energie sont ´
egaux..